Vecka 35: Om tal

Matematik A - NV09FMTSäkert känner  du till att man delar upp tal i t ex positiva tal, negativa tal, heltal och bråktal. I gymnasiematten ska vi dock formalisera indelningen en aning.

De naturliga talen är nog de tal människan använde sig utav från början. Det är positiva heltal tillsammans med talet 0. Man talar om mängden naturliga tal: man kan tänka sig mängden som en låda som innehåller alla naturliga tal (som ju faktiskt är oändligt många!).

Nästa steg blir att inkludera de negativa heltalen. De naturliga talen tillsammans med mängden av de negativa talen kallas för heltal (som också är oändligt många, men här kan man fråga sig varför de inte är dubbelt så många som de naturliga talen!). Fortsätt läsa ”Vecka 35: Om tal”

Funktionskort

På en matematikbiennal fick jag ett bra undervisningstips som gick ut på att kombinera en representation av en funktion med en annan representation. Det kan t ex vara en graf som kombineras med ett algebraiskt funktionsuttryck. Det jag såg där gällde liniära funktioner som fanns tryckta på kort: en rät linje, en värdetabell och ett algebraiskt funktionsuttryck. Var och en fick ett kort varpå vi skulle hitta den person som hade det korresponderande kortet.

Jag byggde vidare på idén och skapade kort för liniära funktioner, kvadratiska funktioner, potensfunktioner, exponentialfunktioner samt kort som har med derivator och primitiva funktioner att göra. Dessa är tänkta att passa för gymnasiekurserna Matematik A, B, C och D (i Matematik A ligger visserligen  fokus på räta linjens ekvation, vilket inte är detsamma som en liniär funktion).

Funktionskort
Funktionskort, sviter radvis och funktionskategorier kolumnvis.

Modellen är densamma som ovan beskrivet: Dela ut korten inom det aktuella området (t ex kvadratiska funktioner). Eleverna får sedan hitta ”sin” grupp som har samma funktion representerad. Som man ser i bilden ovan är varje ”svit” av kort i olika färger. Som lärare bör man efter övningen ta upp några exempel på varför sviterna hör ihop och kanske reflektera med eleverna om t ex huruvida en värdetabell kan / inte kan definiera en kontinuerlig funktion.

Hämta pdf-filen med funktionskorten här. Sedan är det bara att ta fram saxen och kanske plastmaskinen.

Lycka till!

Mattelärarhumor

Jag sprang på följande historia idag, som finns i David Blatners bok The Joy of  \pi:

Det finns tre definitioner på \pi:

  • matematikerns: \pi är det tal som uttrycker förhållandet mellan omkrets och diameter i en cirkel
  • fysikerns: \pi=3.1415927\pm0.00000005
  • ingenjörens: \pi\approx3

Värdesiffror är ofta ett nytt begrepp för eleverna när de kommer till gymnasiet. Efter några exempel inser de flesta vad det är för skillnad på t ex  2 meter och 2.0 meter, men ska man beräkna den kinetiska energin E_k för ett föremål med massan m och farten v, så lyder sambandet E_k=\frac{mv^2}{2}. m och  v är mätetal med ett visst antal värdesiffror, men hur många värdesiffror är 2:an i nämnaren? Det är här som man kommer in på skillnaden mellan mätetal och exakta tal. Allt kan inte mätas, 2:an i sambandet ovan är ett ”matematiskt” tal (till skillnad mot mätetal).

I det här fallet kan 2:an illustreras ganska enkelt grafiskt ur definitionen för fysikaliskt arbete samt Newtons andra lag – det hela kommer att mynna ut i att vi ska beräkna en triangels area. Nu behöver det inte vara så att exakta tal inskränker sig till heltal eller bråktal. Vad beträffar \pi så är det ett irrationellt, transcendent, tal. Många tycker att det är märkligt med talet \pi när det har en oändlig decimalutveckling, samtidigt som man inte kan skriva det på bråkform (det är t ex inte lika märkligt som att \frac{1}{3}\approx0.333). Men tittar men på en tallinje så existerar det exakta \pi just på en viss plats på tallinjen, precis som talet 2 gör i all sin exakthet.

Tallinje
Tallinje

Ofta är man dock intresserad av att kunna relatera ett beräknat resultat på ett enkelt sätt till något man känner till. Och då är jag rädd för att ”ingenjörens definition” (ovan) ger en talmässigt (i decimalsystemet) hygglig bild av det som beräknats!