Pippi på pi

Glad pi-dag! I det här inlägget ska jag inte gå igenom massa decimaler till pi. Däremot beskriva hur man kan få fram dem. Och hur det kommer sig att arean av en cirkel beräknas som den gör.

Som lärare får jag ibland frågor om hur ”man kan känna till talet π med så många decimaler?” och hur ”det kommer sig att arean för en cirkel räknas ut med formeln \(A=\pi r^2\)?”. De flesta känner till att \(\pi\approx 3.14\), att det har något med cirklar att göra och kanske också att dess decimalantal går mot oändligheten. Som i så många andra fall finns inga enkla förklaringar i en ”one-liner”, men jag försöker mig på en sammanfattning nedan.

Innan det vill jag bara ange ett par rekord (vid tidpunkten för detta inläggs publicering) som har med π att göra:

Fortsätt läsa ”Pippi på pi”

Intro till differentialekvationer

Introduktionen till differentialekvationer i Ma5 klar. Tänkt att vara en översikt av vad en differentialekvation är och innebörden av dess lösningar. Så fick jag ju koda lite också, både Python (för graferna) och CSS (för presentationen) 🙂

Dagens uppvärmning i Ma5

Dagens uppvärmninguppgifter efter sportlovet i Ma5-kursen:

Beräkna summan (problem som även Gauss lär ska ha fått i skolan i slutet av 1700-talet):

$$1+2+3+…+100$$

Beräkna värdet på den geometriska serien:

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}$$

Inget tjuvkik i formelbladen!

Om kombinatorik och multiplikationsprincipen

Ibland kan det vara svårt att avgöra hur antalet kombinationer om det är flera val som görs efter varandra. Ett exempel är följande:

Anna ska välja en av respektive: två par byxor, tre blusar och fem smycken. På hur många sätt kan resultat av outfiten bli?

I detta fall är det oberoende val som görs. T ex påverkar valet av byxor inte valet av blus och smycke. Här används multiplikationsprincipen, antalet möjligheter blir helt korrekt

$$2\cdot 3\cdot 5=30$$

I följande fall får man dock tänka sig för innan man använder multiplikationsprincipen:

Fortsätt läsa ”Om kombinatorik och multiplikationsprincipen”

Sannolikheter i en kedja

En uppgift i en lärobok i Matematik 5 lyder något i stil med: Det finns tre bägare, A, B och C, som vardera innehåller fem blå och en röd kula. Man på måfå tar en kula ur bägare A och placerar i B, därefter på måfå tar en kula ur B för att placera i C.

Efter dessa förflyttningar, beräkna sannolikheten att en slumpvis vald kula i bägare C är röd.

Fortsätt läsa ”Sannolikheter i en kedja”

Aritmetisk serie

Kul uppgift rörande en aritmetisk serie, framför allt Ma5.

1             =  1 = 1^2
1 + 3         =  4 = 2^2
1 + 3 + 5     =  9 = 3^2
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2
...

Visa att mönstret fortsätter på detta sätt:

  • Geometriskt
  • Med formel för aritmetisk summa
  • Med induktionsbevis

Problem med popcorn

Det är en mycket bra fråga! Finns varianter av denna i matematikböcker både på högstadiet och gymnasiet. Och tro mig: även om den går fort att lösa bara på någon rad så involverar den ett koncept som många inte tycker är så enkelt.

Det kom fråga: Om en full strut rymmer två liter popcorn, hur mycket popcorn finns det i struten då den är fylld till två tredjedelar av höjden?

Embed from Getty Images

Det är en mycket bra fråga! Finns varianter av denna i matematikböcker både på högstadiet och gymnasiet. Och tro mig: även om den går fort att lösa bara på någon rad så involverar den ett koncept som många inte tycker är så enkelt.

Fortsätt läsa ”Problem med popcorn”

Om programmering i matematikundervisningen

Under förra veckan blev jag intervjuad av en lärarstudent som snart är färdig med kombinationsutbildningen civilingenjör / lärare. Det gällde programmering i matematikundervisningen; för några år sedan så infördes detta i ämnesplanen för några matematikkurser på gymnasiet. Det blev ett utmärkt tillfälle för mig att strukturera mina egna tankar.

Fortsätt läsa ”Om programmering i matematikundervisningen”

Veckans kluring, 2020-08

Denna kluring är ett problem taget från Kängurutävlingen 2016.

En växt slingrar sig exakt fem varv kring en stolpe som har höjden 1 m och omkretsen 15 cm. Varje varv slingrar sig växten lika lång sträcka i höjdled. Hur lång är växten?

Fortsätt läsa ”Veckans kluring, 2020-08”

Vilken slutsiffra har talet?

I kursen matematik 5 går vi igenom moduloräkning, det är när man beräknar vilken rest två tal ger vid division med varandra. Man säger att två tal (säg \(a\) och \(b\)) är kongruenta med varandra modulo ett annat tal, säg \(c\) om \(a\) och \(b\) ger samma rest när de divideras med \(c\). Nedan finns den presentation som jag använder i avsnittet.

Nå, i detta inlägg tänker jag inte gå igenom själva teorin; det är mest några uppgifter jag gav som sammanfattar en del av avsnittet. Inga digitala hjälpmedel!

  1. Vilken siffra slutar talet \(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13 \cdot 17 \) på?
  2. Vilken siffra slutar talet \(12^{32}\) på?
  3. Vilken siffra slutar talet \(9^{101}\) på?

Reflektioner: Jag tänkte mig att den första uppgiften skulle bli någorlunda enkel för eleverna. Jag sa t o m att det skulle kunna vara en kluring för högstadieelever (jag hoppas att det stämmer!). Men jag tror att det var alla kongruensregler vi gått igenom som gjorde att många missade att tänka på vad faktorn 2 och 5 gör när de multipliceras med varandra.

Inför de övriga uppgifterna fick jag tipsa om att räkna modulo 10. Uppgift 2 är då en klassisk kongruensräkningsuppgift i flera steg som vi tränat på, medan uppgift 3 blir väldigt kort att beräkna eftersom man kan se 9 som kongruent med -1 då man räknar modulo 10.

Jag upplevde det som att det blev en bra repetition som gav mycket för eleverna.