Thomaes funktion – en riktig hjärnvrängare

Jag läser om Thomaes funktion. Det är en funktion som är diskontinuerlig överallt utom i de irrationella talen. Jag var inte bekant med funktionen sedan mina tidigare studier (inte vad jag minns, iallafall), och det visade sig bli en tillfredsställande bekantskap. Den går ut på att när man stoppar in ett rationellt tal i funktionen så får den ett värde som är skilt från noll. Stoppar man däremot in ett irrationellt tal så är funktionsvärdet definierat till noll. Sedan låter man funktionen operera på hela mängden av rationella tal. En del av resultatet syns i nedanstående bildserie.

Kod i Mathematica (som är snodd härifrån); denna genererar ovanstående bilder:

maxq = 100;
fracs = Table[p/q, {q, 2, maxq}, {p, 2, q}] // Flatten // 
   DeleteDuplicates;
pq = {#, 1/Denominator@#} & /@ fracs;

ListPlot[pq, PlotRange -> {{0, 1}}]

Kan man inte få nog av märkliga funktioner så rekommenderar jag att läsa om Dirichlets funktion, som faktiskt inte är kontinuerlig någonstans, eller Weierstrass funktion som är kontinuerlig överallt men som inte är deriverbar någonstans.

Linjär algebra och analys – Video!

För dig som är sugen på lite djupdykning i de matematiska områdena linjär algebra och analys, så rekommenderas nedanstående spellistor som jag hittade på YouTube. Hade jag själv haft tillgång till dylikt material under (universitets)studierna hade vissa koncept underlättats enormt.

Mycket av det som tas upp ingår inte i gymnasiekurserna, och det som gör det tas ibland  upp på ett annat sätt. Icke desto mindre är dessa förklaringar och animeringar en väldigt bra resurs 🙂

Essence of Linear algebra

 Essence of calculus

En Julens funktion

Funktionen y=\frac{\ln (x\!/\!m-sa)}{r^2}  måste väl vara en julfunktion 😉 ? Tog upp den med min klass på avslutningen inför jullovet; vi hade dessbättre gått igenom naturliga logaritm och basen e under terminen.

merry x-mas.png

Arean på en cirkel – en historia

Efter att vi under en lektion i Matematik 5 arbetat med beräkningar på cirkelsegment, så googlade jag upp en detalj.

2000px-circularsegment-svg
Cirkelsegment

Det gjorde att jag hittade den här roliga historien:

Once upon a time there was a mathematician. His toilet was clogged. So he called the plumber. The plumber arrived later that evening, unclogged the toilet in 15 minutes, and handed the mathematician the bill. The mathematician looked at the bill and shouted: ”Great scott! What a bill! You plumbers must make a fortune charging people this much. Do you mind if I ask how much you make?”

Fortsätt läsa ”Arean på en cirkel – en historia”

Tal i potensform samt tal i olika baser

Matematik 1 - NA11FMDenna vecka har vi jobbat med mycket tal i potensform. Från de gamla kända tiopotenserna till några kanske obskyra lagar i form av att negativa exponenter blir positiva om samtidigt som talet i fråga inverteras. Detta, tillsammans med regler för multiplikation och division med tal i potensform, har vi ägnat en del av veckan åt. Fortsätt läsa ”Tal i potensform samt tal i olika baser”

Matematik idag

Matematik 1 - NA11FMDagens mattelektion för NA11FM: Olika talmängder (se sid. 9 i boken). Ej helt komplett, det finns även komplexa tal, vilket vi återkommer till i Matematik 2.

Prioriteringsregler, räkna parenteserna först, sedan exponenterna, multiplikation och division, slutligen addition och subtraktion. Kolla hur era miniräknare prioriterar. Oftast är det säkrast att använda parenteser om man är osäker.

Primtal, tal som inte är delbara (så att kvoten blir ett heltal) med något annat tal än sig själv och 1. Det minsta primtalet är 2. När man multiplicerar primtal med varandra kan alla övriga tal byggas upp. Orsken till att vi inte definierar några negativa tal som primtal är att dessa kan byggas upp som en produkt av andra tal samt talet -1.

Rekommenderade uppgifter, skall vara klara (efter förmåga) till onsdag den 24 augusti: Fortsätt läsa ”Matematik idag”

Rotationsvolymer erhållna med skiv- och skalmetoden

När man bestämmer en rotationsvolym runt en koordinataxel kan det göras med ”skivmetoden”, som går ut på att man travar ”skivor” med en infinitesimal höjd över ett område. Summeras dessas volymer över axeln erhålls den totala volymen. Ett exempelresultat, baserat på rotation kring y-axeln, ses nedan.

Fortsätt läsa ”Rotationsvolymer erhållna med skiv- och skalmetoden”

Calculus

Videon jag visade på lektionen idag:

Funktionskort

På en matematikbiennal fick jag ett bra undervisningstips som gick ut på att kombinera en representation av en funktion med en annan representation. Det kan t ex vara en graf som kombineras med ett algebraiskt funktionsuttryck. Det jag såg där gällde liniära funktioner som fanns tryckta på kort: en rät linje, en värdetabell och ett algebraiskt funktionsuttryck. Var och en fick ett kort varpå vi skulle hitta den person som hade det korresponderande kortet.

Jag byggde vidare på idén och skapade kort för liniära funktioner, kvadratiska funktioner, potensfunktioner, exponentialfunktioner samt kort som har med derivator och primitiva funktioner att göra. Dessa är tänkta att passa för gymnasiekurserna Matematik A, B, C och D (i Matematik A ligger visserligen  fokus på räta linjens ekvation, vilket inte är detsamma som en liniär funktion).

Funktionskort
Funktionskort, sviter radvis och funktionskategorier kolumnvis.

Modellen är densamma som ovan beskrivet: Dela ut korten inom det aktuella området (t ex kvadratiska funktioner). Eleverna får sedan hitta ”sin” grupp som har samma funktion representerad. Som man ser i bilden ovan är varje ”svit” av kort i olika färger. Som lärare bör man efter övningen ta upp några exempel på varför sviterna hör ihop och kanske reflektera med eleverna om t ex huruvida en värdetabell kan / inte kan definiera en kontinuerlig funktion.

Hämta pdf-filen med funktionskorten här. Sedan är det bara att ta fram saxen och kanske plastmaskinen.

Lycka till!

Mattelärarhumor

Jag sprang på följande historia idag, som finns i David Blatners bok The Joy of  \pi:

Det finns tre definitioner på \pi:

  • matematikerns: \pi är det tal som uttrycker förhållandet mellan omkrets och diameter i en cirkel
  • fysikerns: \pi=3.1415927\pm0.00000005
  • ingenjörens: \pi\approx3

Värdesiffror är ofta ett nytt begrepp för eleverna när de kommer till gymnasiet. Efter några exempel inser de flesta vad det är för skillnad på t ex  2 meter och 2.0 meter, men ska man beräkna den kinetiska energin E_k för ett föremål med massan m och farten v, så lyder sambandet E_k=\frac{mv^2}{2}. m och  v är mätetal med ett visst antal värdesiffror, men hur många värdesiffror är 2:an i nämnaren? Det är här som man kommer in på skillnaden mellan mätetal och exakta tal. Allt kan inte mätas, 2:an i sambandet ovan är ett ”matematiskt” tal (till skillnad mot mätetal).

I det här fallet kan 2:an illustreras ganska enkelt grafiskt ur definitionen för fysikaliskt arbete samt Newtons andra lag – det hela kommer att mynna ut i att vi ska beräkna en triangels area. Nu behöver det inte vara så att exakta tal inskränker sig till heltal eller bråktal. Vad beträffar \pi så är det ett irrationellt, transcendent, tal. Många tycker att det är märkligt med talet \pi när det har en oändlig decimalutveckling, samtidigt som man inte kan skriva det på bråkform (det är t ex inte lika märkligt som att \frac{1}{3}\approx0.333). Men tittar men på en tallinje så existerar det exakta \pi just på en viss plats på tallinjen, precis som talet 2 gör i all sin exakthet.

Tallinje
Tallinje

Ofta är man dock intresserad av att kunna relatera ett beräknat resultat på ett enkelt sätt till något man känner till. Och då är jag rädd för att ”ingenjörens definition” (ovan) ger en talmässigt (i decimalsystemet) hygglig bild av det som beräknats!