Numeriska lösningar till differentialekvationer i Python

För att orientera mig om hur differentialekvationer kan lösas numeriskt i Python gjorde jag ett Jupyter-dokument som tar upp och löser flera av de typer av ordinära differentialekvationer som kommer upp i gymnasiets matematik- och fysikkurser. Dokumentet blir inte så bra att föra över i WordPress-miljö, så jag har lagt det här istället.

Jag använder mig av funktionen odeint() som finns i biblioteket SciPy. Funktionen genererar listor med godtycklig noggrannhet som sedan kan plottas. I dokumentet har jag beskrivit hur man går tillväga.

En av de grafer jag genererade var följande, som beskriver ett föremåls fall i gravitationsfältet enligt olika modeller med luftmotstånd.


AirDrag

Jag hoppas att dokumentet kan inspirera någon eller att det på något annat sett kommer till nytta!

Tredelning av cirkelns area med två linjer

Cirkelns geometri gör att det inte alltid blir helt lätt att avgöra hur stor andel som är utskuren. Skulle man t ex dela på en pizza på tre så är jag rädd för att de som fått den gula delen i bilden nedan kommer att känna sig förfördelad. Dessutom är det en större andel kant i ytterdelarna, så snitten kanske behöver läggas ytterligare in mot mitten för ultimat rättvisa.

Cirkelns tredelning.png

Lösningen på problemet är nog att beställa en större pizza. Om pizzans diameter ökar från 30 cm till 35 cm ökar dess area med 36 %.

För den som vill evaluera integralen i bilden ovan analytiskt så finns substitutionen som måste göras här.

Thomaes funktion – en riktig hjärnvrängare

Jag läser om Thomaes funktion. Det är en funktion som är diskontinuerlig överallt utom i de irrationella talen. Jag var inte bekant med funktionen sedan mina tidigare studier (inte vad jag minns, iallafall), och det visade sig bli en tillfredsställande bekantskap. Den går ut på att när man stoppar in ett rationellt tal i funktionen så får den ett värde som är skilt från noll. Stoppar man däremot in ett irrationellt tal så är funktionsvärdet definierat till noll. Sedan låter man funktionen operera på hela mängden av rationella tal. En del av resultatet syns i nedanstående bildserie.

Kod i Mathematica (som är snodd härifrån); denna genererar ovanstående bilder:

maxq = 100;
fracs = Table[p/q, {q, 2, maxq}, {p, 2, q}] // Flatten // 
   DeleteDuplicates;
pq = {#, 1/Denominator@#} & /@ fracs;

ListPlot[pq, PlotRange -> {{0, 1}}]

Kan man inte få nog av märkliga funktioner så rekommenderar jag att läsa om Dirichlets funktion, som faktiskt inte är kontinuerlig någonstans, eller Weierstrass funktion som är kontinuerlig överallt men som inte är deriverbar någonstans.

Linjär algebra och analys – Video!

För dig som är sugen på lite djupdykning i de matematiska områdena linjär algebra och analys, så rekommenderas nedanstående spellistor som jag hittade på YouTube. Hade jag själv haft tillgång till dylikt material under (universitets)studierna hade vissa koncept underlättats enormt.

Mycket av det som tas upp ingår inte i gymnasiekurserna, och det som gör det tas ibland  upp på ett annat sätt. Icke desto mindre är dessa förklaringar och animeringar en väldigt bra resurs 🙂

Essence of Linear algebra

 Essence of calculus

En Julens funktion

Funktionen y=\frac{\ln (x\!/\!m-sa)}{r^2}  måste väl vara en julfunktion 😉 ? Tog upp den med min klass på avslutningen inför jullovet; vi hade dessbättre gått igenom naturliga logaritm och basen e under terminen.

merry x-mas.png

Arean på en cirkel – en historia

Efter att vi under en lektion i Matematik 5 arbetat med beräkningar på cirkelsegment, så googlade jag upp en detalj.

2000px-circularsegment-svg
Cirkelsegment

Det gjorde att jag hittade den här roliga historien:

Once upon a time there was a mathematician. His toilet was clogged. So he called the plumber. The plumber arrived later that evening, unclogged the toilet in 15 minutes, and handed the mathematician the bill. The mathematician looked at the bill and shouted: ”Great scott! What a bill! You plumbers must make a fortune charging people this much. Do you mind if I ask how much you make?”

Fortsätt läsa ”Arean på en cirkel – en historia”

Tal i potensform samt tal i olika baser

Matematik 1 - NA11FMDenna vecka har vi jobbat med mycket tal i potensform. Från de gamla kända tiopotenserna till några kanske obskyra lagar i form av att negativa exponenter blir positiva om samtidigt som talet i fråga inverteras. Detta, tillsammans med regler för multiplikation och division med tal i potensform, har vi ägnat en del av veckan åt. Fortsätt läsa ”Tal i potensform samt tal i olika baser”

Matematik idag

Matematik 1 - NA11FMDagens mattelektion för NA11FM: Olika talmängder (se sid. 9 i boken). Ej helt komplett, det finns även komplexa tal, vilket vi återkommer till i Matematik 2.

Prioriteringsregler, räkna parenteserna först, sedan exponenterna, multiplikation och division, slutligen addition och subtraktion. Kolla hur era miniräknare prioriterar. Oftast är det säkrast att använda parenteser om man är osäker.

Primtal, tal som inte är delbara (så att kvoten blir ett heltal) med något annat tal än sig själv och 1. Det minsta primtalet är 2. När man multiplicerar primtal med varandra kan alla övriga tal byggas upp. Orsken till att vi inte definierar några negativa tal som primtal är att dessa kan byggas upp som en produkt av andra tal samt talet -1.

Rekommenderade uppgifter, skall vara klara (efter förmåga) till onsdag den 24 augusti: Fortsätt läsa ”Matematik idag”

Rotationsvolymer erhållna med skiv- och skalmetoden

När man bestämmer en rotationsvolym runt en koordinataxel kan det göras med ”skivmetoden”, som går ut på att man travar ”skivor” med en infinitesimal höjd över ett område. Summeras dessas volymer över axeln erhålls den totala volymen. Ett exempelresultat, baserat på rotation kring y-axeln, ses nedan.

Fortsätt läsa ”Rotationsvolymer erhållna med skiv- och skalmetoden”

Calculus

Videon jag visade på lektionen idag: