Vilken slutsiffra har talet?

I kursen matematik 5 går vi igenom moduloräkning, det är när man beräknar vilken rest två tal ger vid division med varandra. Man säger att två tal (säg \(a\) och \(b\)) är kongruenta med varandra modulo ett annat tal, säg \(c\) om \(a\) och \(b\) ger samma rest när de divideras med \(c\). Nedan finns den presentation som jag använder i avsnittet.

Nå, i detta inlägg tänker jag inte gå igenom själva teorin; det är mest några uppgifter jag gav som sammanfattar en del av avsnittet. Inga digitala hjälpmedel!

  1. Vilken siffra slutar talet \(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13 \cdot 17 \) på?
  2. Vilken siffra slutar talet \(12^{32}\) på?
  3. Vilken siffra slutar talet \(9^{101}\) på?

Reflektioner: Jag tänkte mig att den första uppgiften skulle bli någorlunda enkel för eleverna. Jag sa t o m att det skulle kunna vara en kluring för högstadieelever (jag hoppas att det stämmer!). Men jag tror att det var alla kongruensregler vi gått igenom som gjorde att många missade att tänka på vad faktorn 2 och 5 gör när de multipliceras med varandra.

Inför de övriga uppgifterna fick jag tipsa om att räkna modulo 10. Uppgift 2 är då en klassisk kongruensräkningsuppgift i flera steg som vi tränat på, medan uppgift 3 blir väldigt kort att beräkna eftersom man kan se 9 som kongruent med -1 då man räknar modulo 10.

Jag upplevde det som att det blev en bra repetition som gav mycket för eleverna.

Veckans kluring, 2020-07

Sultanen i Bengazien hade två favoritnöjen: kluriga logiska gåtor samt sadistiska lekar med de politiskamotståndare han spärrat i fängelse. Så en dag bestämde han sig för att kombinera båda.
”Jag väljer ut en fånge, ställer honom framför två dörrar och tvingar honom välja dörr. Bakom någon av dörrarna har jag låtit en hungrig tiger vänta. Ovanför dörrarna har jag satt upp skyltar med litet upplysningar. Om fången kan resonera logiskt och tolkar informationen rätt så att han väljer rätt dörr, utan någon tiger bakom, får han gå fri, annars …”

Sultanen satte tre fångar på prov. Alla tre fick veta att det kunde finnas en tiger bakom en av dörrarna, men det kunde också tänkas att det väntade tigrar bakom båda dörrarna, eller att det inte fanns någon tiger alls.

Och vad göra, om det väntar tigrar bakom båda dörrarna? — undrade den första fången missmodigt.
– Då har du otur, får man väl säga … — svarade sultanen.
– Och om det inte finns någon tiger alls, betyder det verkligen att jag blir fri?
– Jajamän!
– Men, om det finns tiger bakom en av dörrarna endast?
– Ja, då spelar det verkligen roll vilken dörr du väljer — det förstår du väl?!
– Hur skulle jag då kunna veta vilken jag ska välja?

Sultanen pekade då på skyltarna ovanför respektive dörr

och sade:
– En av skyltarna är sann, medan den andra är falsk. Men vilken som är vilken får du lista ut själv!

Denna fången klarade sig. Nu är det din tur 😏

Fortsätt läsa ”Veckans kluring, 2020-07”

Veckans kluring, 2020-06

Hur gamla är dina barn?

Brevbäraren Barbro kom till ett hus där det visade sig att hon kände adressaten Mats sedan skoltiden. Det blev ett glatt återseende, och Barbro fick reda på att Mats nu har tre barn.
– Hur gamla är de? frågade Barbro.
– Produkten av deras åldrar är 36 år, sa Mats.
– Men jag måste veta något mer för att kunna beräkna åldrarna!
– Ja, summan av deras åldrar är detsamma som vårt husnummer.

Barbro gjorde några beräkningar. Slutligen sa hon:
– Du måste ge mig en ledtråd till.
– Ja, det har du rätt i. Den äldsta har just börjat spela piano.

Det gjorde att Barbro kunde beräkna åldrarna. Kan du?

Fortsätt läsa ”Veckans kluring, 2020-06”

Numeriska lösningar till differentialekvationer i Python

För att orientera mig om hur differentialekvationer kan lösas numeriskt i Python gjorde jag ett Jupyter-dokument som tar upp och löser flera av de typer av ordinära differentialekvationer som kommer upp i gymnasiets matematik- och fysikkurser. Dokumentet blir inte så bra att föra över i WordPress-miljö, så jag har lagt det här istället.

Jag använder mig av funktionen odeint() som finns i biblioteket SciPy. Funktionen genererar listor med godtycklig noggrannhet som sedan kan plottas. I dokumentet har jag beskrivit hur man går tillväga.

En av de grafer jag genererade var följande, som beskriver ett föremåls fall i gravitationsfältet enligt olika modeller med luftmotstånd.


AirDrag

Jag hoppas att dokumentet kan inspirera någon eller att det på något annat sett kommer till nytta!

Tredelning av cirkelns area med två linjer

Cirkelns geometri gör att det inte alltid blir helt lätt att avgöra hur stor andel som är utskuren. Skulle man t ex dela på en pizza på tre så är jag rädd för att de som fått den gula delen i bilden nedan kommer att känna sig förfördelad. Dessutom är det en större andel kant i ytterdelarna, så snitten kanske behöver läggas ytterligare in mot mitten för ultimat rättvisa.

Cirkelns tredelning.png

Lösningen på problemet är nog att beställa en större pizza. Om pizzans diameter ökar från 30 cm till 35 cm ökar dess area med 36 %.

För den som vill evaluera integralen i bilden ovan analytiskt så finns substitutionen som måste göras här.

Thomaes funktion – en riktig hjärnvrängare

Jag läser om Thomaes funktion. Det är en funktion som är diskontinuerlig överallt utom i de irrationella talen. Jag var inte bekant med funktionen sedan mina tidigare studier (inte vad jag minns, iallafall), och det visade sig bli en tillfredsställande bekantskap. Den går ut på att när man stoppar in ett rationellt tal i funktionen så får den ett värde som är skilt från noll. Stoppar man däremot in ett irrationellt tal så är funktionsvärdet definierat till noll. Sedan låter man funktionen operera på hela mängden av rationella tal. En del av resultatet syns i nedanstående bildserie.

Kod i Mathematica (som är snodd härifrån); denna genererar ovanstående bilder:

maxq = 100;
fracs = Table[p/q, {q, 2, maxq}, {p, 2, q}] // Flatten // 
   DeleteDuplicates;
pq = {#, 1/Denominator@#} & /@ fracs;

ListPlot[pq, PlotRange -> {{0, 1}}]

Kan man inte få nog av märkliga funktioner så rekommenderar jag att läsa om Dirichlets funktion, som faktiskt inte är kontinuerlig någonstans, eller Weierstrass funktion som är kontinuerlig överallt men som inte är deriverbar någonstans.

Linjär algebra och analys – Video!

För dig som är sugen på lite djupdykning i de matematiska områdena linjär algebra och analys, så rekommenderas nedanstående spellistor som jag hittade på YouTube. Hade jag själv haft tillgång till dylikt material under (universitets)studierna hade vissa koncept underlättats enormt.

Mycket av det som tas upp ingår inte i gymnasiekurserna, och det som gör det tas ibland  upp på ett annat sätt. Icke desto mindre är dessa förklaringar och animeringar en väldigt bra resurs 🙂

Essence of Linear algebra

 Essence of calculus

En Julens funktion

Funktionen y=\frac{\ln (x\!/\!m-sa)}{r^2}  måste väl vara en julfunktion 😉 ? Tog upp den med min klass på avslutningen inför jullovet; vi hade dessbättre gått igenom naturliga logaritm och basen e under terminen.

merry x-mas.png

Arean på en cirkel – en historia

Efter att vi under en lektion i Matematik 5 arbetat med beräkningar på cirkelsegment, så googlade jag upp en detalj.

2000px-circularsegment-svg
Cirkelsegment

Det gjorde att jag hittade den här roliga historien:

Once upon a time there was a mathematician. His toilet was clogged. So he called the plumber. The plumber arrived later that evening, unclogged the toilet in 15 minutes, and handed the mathematician the bill. The mathematician looked at the bill and shouted: ”Great scott! What a bill! You plumbers must make a fortune charging people this much. Do you mind if I ask how much you make?”

Fortsätt läsa ”Arean på en cirkel – en historia”

Tal i potensform samt tal i olika baser

Matematik 1 - NA11FMDenna vecka har vi jobbat med mycket tal i potensform. Från de gamla kända tiopotenserna till några kanske obskyra lagar i form av att negativa exponenter blir positiva om samtidigt som talet i fråga inverteras. Detta, tillsammans med regler för multiplikation och division med tal i potensform, har vi ägnat en del av veckan åt. Fortsätt läsa ”Tal i potensform samt tal i olika baser”