Thomaes funktion – en riktig hjärnvrängare

Jag läser om Thomaes funktion. Det är en funktion som är diskontinuerlig överallt utom i de irrationella talen. Jag var inte bekant med funktionen sedan mina tidigare studier (inte vad jag minns, iallafall), och det visade sig bli en tillfredsställande bekantskap. Den går ut på att när man stoppar in ett rationellt tal i funktionen så får den ett värde som är skilt från noll. Stoppar man däremot in ett irrationellt tal så är funktionsvärdet definierat till noll. Sedan låter man funktionen operera på hela mängden av rationella tal. En del av resultatet syns i nedanstående bildserie.

Kod i Mathematica (som är snodd härifrån); denna genererar ovanstående bilder:

maxq = 100;
fracs = Table[p/q, {q, 2, maxq}, {p, 2, q}] // Flatten // 
   DeleteDuplicates;
pq = {#, 1/Denominator@#} & /@ fracs;

ListPlot[pq, PlotRange -> {{0, 1}}]

Kan man inte få nog av märkliga funktioner så rekommenderar jag att läsa om Dirichlets funktion, som faktiskt inte är kontinuerlig någonstans, eller Weierstrass funktion som är kontinuerlig överallt men som inte är deriverbar någonstans.

Thomaes funktion – en riktig hjärnvrängare

Ett his(s)keligt mätexperiment

Jag har gjort accelerations- och tryckmätningar i en hiss med hjälp av sensorerna i en mobiltelefon och åskådliggjort resultatet med Python och Jupyter. Läs om undersökningarna och resultaten här.

Hissmätningsillustration
Utsnitt av redogörelsen

I ett tidigare inlägg har jag visat hur accelerationssensorerna i en mobiltelefon kan användas för att åskådliggöra olika accelerationsförlopp. Jag har nu byggt vidare på detta genom att jag tog med mig mobilen på en hisstur och såg vad jag kunde få ut av såväl accelerations- och tryckdata. Det blev mer, och bättre, än vad jag hade väntat mig. För att redovisa resultatet använde jag verktyget Jupyter, som är en webbaserad plattform för att köra Pythonkod och även för att visa grafer och bilder. Det blev som en typ av rapport.

Läs vad jag fick ut av det här, det är Jupyter-dokumentet i sin helhet.

För att anknyta till titeln, Ett his(s)keligt mätexperiment, så är nog själva Pythonkoden det enda hiskeliga. När jag idag publicerar detta var det mer än ett år sedan jag gjorde något med koden, och när jag tittar på den ser jag att jag skulle behöva flera timmar för att sätta mig in i den igen (och då kanske jag skulle gjort den på ett annat sätt). Som tur är är koden gömd i dokumentet, men den går att ta fram med hjälp av en knapp överst i dokumentet.

Ett his(s)keligt mätexperiment

Några avstånd i solsystemet

Visst är det långt till Månen, det kom figuren Månskådare på i den utmärkta filmen 2001. Det är 384 000 km, men vad är egentligen innebörden av detta? Jag roade mig med att göra ett par skalenliga bilder för att visualisera några avstånd i vårt solsystem.

Spontant så ligger det nära till hands att tro att det visserligen är långt, men att det faktiskt går att pressa in 30 jordklot i mellanrummet… det är mycket! Ändå ger Månen upphov till fenomen som tidvatten och solförmörkelser.

Avstånden mellan planeterna då?

Planeternas avstånd.png

Nu syns det knappt vad som står i bilden (klicka på den för en högupplöst version), men längst till vänster har vi solen. Därefter planeterna Merkurius, Venus, Jorden och Mars (och då förstår vi att avståndet från Jorden till Månen är ett bildligt stenkast i förhållande till våra närmaste planeter). Dessa planeter ligger tätt i förhållande till de yttre planeterna; Jupiter, Saturnus, Uranus och Neptunus, vars avstånd mellan varandra vida överstiger avståndet mellan Solen och Mars!

I ett uppföljande inlägg kommer jag att visualisera storlekarna på våra himlakroppar i solsystemet.

Några avstånd i solsystemet

Bilder i undervisningen från Wikipedia

Wikipedia är en fantastisk resurs när det gäller att hitta bilder till fysikundervisningen. Bilden för dagen är en illustration av modellen för det magnetiska fältet kring en stavmagnet. Mycket bättre än om jag skulle ritat upp det själv.

500px-VFPt_cylindrical_magnet_thumb.svg_
Stavmagnet med fältlinjer. By Geek3 (Own work) [GFDL or CC BY-SA 3.0], via Wikimedia Commons
Att just denna även fått utmärkelsen Quality Image gör ju inte saken sämre 🙂

Bilder i undervisningen från Wikipedia

Linjär algebra och analys – Video!

För dig som är sugen på lite djupdykning i de matematiska områdena linjär algebra och analys, så rekommenderas nedanstående spellistor som jag hittade på YouTube. Hade jag själv haft tillgång till dylikt material under (universitets)studierna hade vissa koncept underlättats enormt.

Mycket av det som tas upp ingår inte i gymnasiekurserna, och det som gör det tas ibland  upp på ett annat sätt. Icke desto mindre är dessa förklaringar och animeringar en väldigt bra resurs 🙂

Essence of Linear algebra

 Essence of calculus

Linjär algebra och analys – Video!

Vad är egentligen entropi?

Entropi liknas ofta med oordning av partiklar. En hög entropi är detsamma som en stor oordning. Det finns t o m de som lite skämtsamt hävdar att t ex oordningen i hemmet ökar pga den fysikaliska lag, Termodynamikens andra huvudsats, som säger att entropin går mot ett maximum i ett isolerat system.

Nedanstående korta video ger en ansats till en mer generell förklaring om vad entropi egentligen är, och hur det kommer sig att värme flödar från varmare områden mot kallare.

Givetvis är det inte hela sanningen som tas upp i denna video på fem minuter. Den intresserade kan börja att orienteras sig t ex i denna Wikipedia-artikel, (eller ännu hellre den engelskspråkiga motsvarigheten till artikeln) som som tar upp både den mikroskopiska och den makroskopiska definitionen.

Jag hittade filmen, tillsammans med några frågor och relaterade dokument, på denna Ted-Ed-sida.

 

Vad är egentligen entropi?

Kallare än absoluta nollpunkten eller snabbare än ljuset?

Det är alltid kittlande att pröva gränserna. Vilken fysiklärare har inte fått dylika frågor –  ”Men vad skulle hända om…; teoretisk alltså?” Svaret är i många fall att det är just teorierna som sätter begränsningen. T ex är en av kärnpunkterna i relativitetsteorin att ljusfarten är en hastighetsbegränsning i universum. Och komma under temperaturen noll kelvin, hur skulle det gå då vi lärt oss att atomer rör sig långsammare och långsammare vid allt lägre temperatur – för att sedan avstanna helt vid den definitiva fryspunkten? Continue reading ”Kallare än absoluta nollpunkten eller snabbare än ljuset?”

Kallare än absoluta nollpunkten eller snabbare än ljuset?

Hur snabbt kan en Tesla accelerera från 0 till 100 km/h?

Dagens introduktion av en fysiklektion med en Teknikklass:

Tesla Model S

En Tesla Model S P85D har data enligt nedan. Beräkna med hjälp av dessa hur snabbt bilen skulle kunna accelerera från 0 till 100 km/h. (Bortse från friktion och luftmotstånd.)

tesla-prestanda.PNG

tesla-dimensioner.PNG

Ledtrådar

  • Hur stort arbete utför motorn på bilen under accelerationen?
  • Hur definieras effekt?

Det blev en nyttig beräkning. Nu blev den beräknade accelerationstiden betydligt kortare än den som står i testprotokollet. Beror givetvis på verkliga förhållanden med luftmotstånd och friktion. Men det är ändå en nyttig beräkning i ett sammanhang som eleverna verkade uppskatta.

Referens här.

Hur snabbt kan en Tesla accelerera från 0 till 100 km/h?