Jag har ägnat dagen åt att skapa ett Python-program som skapar en karta med regelbundna polygoner inuti varandra. Dessa kan ändras med avseende på antalet och färger. Det visade sig att det kunde bli snygga interferensmönster.
Källkod? Finns på GitHub!
Här visas ett alternativt sätt till upprepad addition och area som representationer för resultatet av en multiplikation.
Att multiplikation kan ses som en upprepad addition med heltal lär vi oss tidigt i skolan. Det är ju för övrigt ganska häftigt att t ex \(4\cdot 3=4+4+4=3+3+3+3\). Det fungerar ju bra för heltal, men hur blir det med produkten av andra tal än heltal – vad betyder egentligen t ex \(\sqrt{2}\cdot{\sqrt{3}}\)? Här fungerar det ju inte med upprepad addition!
Vi lär oss också att produkter kan åskådliggöras som en ytas area. Här kan t ex arean vara \(\sqrt{6}\,\mathrm{ cm}^2\), men vad är egentligen en area för något? Ett mätetal för ytans storlek, som i sin tur alltså kan ses som en produkt. Observera att enheten som arean mäts i är längdenheten i kvadrat.
Ett alternativt sätt att åskådliggöra en produkt är med följande figur:
Observera ettans position, figuren till vänster visar multiplikation med två tal större än 1 och i figuren till höger är talen mindre än ett. Det är en modell som gör att produktens värde syns direkt på tallinjen. Det spelar heller ingen roll om det är heltal, rationella eller irrationella tal. Jag tycker det är en snygg representation som i vissa fall säger mer än en ytas storlek.
Varför funkar den här modellen? Det bygger på likformighet:
Jag tycker det är en vacker förklaring som, kanske, ger en förklaring till vad egentligen produkten av \(\sqrt{2}\cdot{\sqrt{3}}\) står för.
”En turist anländer till ett hotell i en liten grekisk stad. Hon lägger 200 euro på disken till receptionen och går upp för att i lugn och ro kolla rummet.
Hotellets ägare lägger beslag på pengarna och sticker iväg till slaktaren för att betala sin senaste räkning.
Slaktaren tar pengarna och betalar omedelbart den enträget väntande bonden för det kött han köpt på kredit.
Bonden tar pengarna och betalar sin räkning på bensinstationen, där han länge köpt traktorbränsle på krita.
Bensinmackens chef tar de 200 eurona och går till den lokala glädjeflickan och betalar sin skuld.
Glädjeflickan trippar in på hotellet och betalar vad hon är skyldig.
Hotellets ägare lägger pengarna på disken.
Turisten kommer tillbaka till receptionen, hon tyckte inte om rummet och och tar tillbaka sina 200 euro.
Ingen har tjänat en cent, men stan är skuldfri och framtiden ser för tillfället ljus ut.”
Kan detta verkligen stämma?
Veckans kluring är ett problem som jag väljer ut och låter klasser lösa under en del av en lektion i veckan. En bra veckans kluring, tycker jag, är ett problem som vid första ögonkastet kan verka svårt eller omöjligt att lösa men som vid en närmare titt och diskussioner faktiskt inte är speciellt svårt. Det är ofta andra elever än de som har bäst provresultat som kommer med lösningen.
Glad pi-dag! I det här inlägget ska jag inte gå igenom massa decimaler till pi. Däremot beskriva hur man kan få fram dem. Och hur det kommer sig att arean av en cirkel beräknas som den gör.
Som lärare får jag ibland frågor om hur ”man kan känna till talet π med så många decimaler?” och hur ”det kommer sig att arean för en cirkel räknas ut med formeln \(A=\pi r^2\)?”. De flesta känner till att \(\pi\approx 3.14\), att det har något med cirklar att göra och kanske också att dess decimalantal går mot oändligheten. Som i så många andra fall finns inga enkla förklaringar i en ”one-liner”, men jag försöker mig på en sammanfattning nedan.
Innan det vill jag bara ange ett par rekord (vid tidpunkten för detta inläggs publicering) som har med π att göra:
Introduktionen till differentialekvationer i Ma5 klar. Tänkt att vara en översikt av vad en differentialekvation är och innebörden av dess lösningar. Så fick jag ju koda lite också, både Python (för graferna) och CSS (för presentationen) 🙂
Dagens uppvärmninguppgifter efter sportlovet i Ma5-kursen:
Beräkna summan (problem som även Gauss lär ska ha fått i skolan i slutet av 1700-talet):
$$1+2+3+…+100$$
Beräkna värdet på den geometriska serien:
$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}$$
Inget tjuvkik i formelbladen!
Ibland kan det vara svårt att avgöra hur antalet kombinationer om det är flera val som görs efter varandra. Ett exempel är följande:
Anna ska välja en av respektive: två par byxor, tre blusar och fem smycken. På hur många sätt kan resultat av outfiten bli?
I detta fall är det oberoende val som görs. T ex påverkar valet av byxor inte valet av blus och smycke. Här används multiplikationsprincipen, antalet möjligheter blir helt korrekt
$$2\cdot 3\cdot 5=30$$
I följande fall får man dock tänka sig för innan man använder multiplikationsprincipen:
Fortsätt läsa ”Om kombinatorik och multiplikationsprincipen”En uppgift i en lärobok i Matematik 5 lyder något i stil med: Det finns tre bägare, A, B och C, som vardera innehåller fem blå och en röd kula. Man på måfå tar en kula ur bägare A och placerar i B, därefter på måfå tar en kula ur B för att placera i C.
Efter dessa förflyttningar, beräkna sannolikheten att en slumpvis vald kula i bägare C är röd.
Fortsätt läsa ”Sannolikheter i en kedja”Kul uppgift rörande en aritmetisk serie, framför allt Ma5.
1 = 1 = 1^2
1 + 3 = 4 = 2^2
1 + 3 + 5 = 9 = 3^2
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2
...
Visa att mönstret fortsätter på detta sätt:
Det är en mycket bra fråga! Finns varianter av denna i matematikböcker både på högstadiet och gymnasiet. Och tro mig: även om den går fort att lösa bara på någon rad så involverar den ett koncept som många inte tycker är så enkelt.
Det kom fråga: Om en full strut rymmer två liter popcorn, hur mycket popcorn finns det i struten då den är fylld till två tredjedelar av höjden?
Embed from Getty ImagesDet är en mycket bra fråga! Finns varianter av denna i matematikböcker både på högstadiet och gymnasiet. Och tro mig: även om den går fort att lösa bara på någon rad så involverar den ett koncept som många inte tycker är så enkelt.
Fortsätt läsa ”Problem med popcorn”