Introduktion till integraler

Matematik D - NV09FMTDenna introduktion kommer vi att arbeta med under lektionerna må. 11 och ti. 12 april. Den 12 april kommer vi dock börja evaluera integraler med primitiva funktioner.

Rekommenderade uppgifter på denna introduktion: 2201, 02, 03, 05, 06, 08, 09, 11 (klassar jag ej som ”C-uppgift”).

I fysiken har vi sett att arean under en graf som beskriver hastigheten som funktion av tiden utgör den tillryggalagda sträckan. I flera andra fysikaliska sammanhang är vi intresserade av arean under en graf (här menas i första hand arean mellan grafen och x-axeln); kanske inte alltid för areans skull, utan snarare för vad den representerar.

I några sammanhang har vi redan uppskattat arean under en graf. Det har mest gått ut på att approximera geometriska figurer, vars sammanlagda area ungefär har uppgått till den verkliga arean. Verktyget för att beräkna arean under en graf kallas för integral. I detta introduktionsavsnitt till integraler skall vi utveckla en metod för att med hjälp av funktionen metodiskt uppskatta arean under dess graf. Denna metod förfinas allteftersom, och till slut har vi kommit till ett exakt uttryck för arean (snarare än en uppskattning). Vi börjar med en illustration:

Exempel på område som begränsas av två ändpunkter på en funktionsgraf och x-axeln
Exempel på område som begränsas av två ändpunkter på en funktionsgraf och x-axeln

För att uppskatta arean under området mellan x = a och x = b (i illustrationen ovan är a = 2 och b = 5) kan man täcka det med rektanglar på ett lämpligt sätt. Summan av rektanglarnas areor kommer då att approximera integralen (arean). Se exempel på det nedan.

Approximation av arean med tre mittpunktsrektanglar
Approximation av area med tre mittpunktsrektanglar

Vi delar in området i flera delintervall med en och samma bredd, Δ(i figuren ovan är Δ= 1). Varje rektangel har här en höjd som utgörs av avståndet från mittpunkten av respektive rektangel till grafen (vi kallar det för mittpunktsrektanglar). Höjden på respektive rektangel är m₁, m₂ och m₃. Om vi ökar antalet rektanglar (respektive rektangel ska fortfarande ha en sinsemellan lika stor bredd, Δx (dock är nu Δmindre), så kommer deras summa att bättre och bättre att approximera arean under grafen. Om vi betecknar respektive x-värde som utgör rektanglarna mittpunkter med m₁, m₂, m₃, m₄ osv. så kommer höjden på respektive rektangel att vara m₁, m₂, m₃, m₄ osv. Då kommer den sammanlagda arean (låt oss beteckna den med I) av rektanglarna att bli

I=(f(m_1)+f(m_2)+f(m_3)+f(m_4)+...)\cdot \Delta x\hfill (1)

Antalet termer i denna summa går mot oändligheten, vilket medför att Δx→0. Då Δx→0 skrivs det ut med beteckningen dx.

Hela summan ovan (då antalet termer går mo t oändligheten) kan betecknas enligt följande:

I=\int_{a}^{b}f(x)dx\hfill (2)

Det går naturligtvis att använda andra geometriska figurer än rektanglar för att approximera arean under grafen. Man kan tänka sig att dela in ytan under kurvan med flera olika sorters geometriska figurer, och komma väldigt nära det korrekta värdet. Man vill dock ha en generell metod, med vars hjälp det går att utöka antalet geometriska figurer enligt ett givet mönster. Antalet rektanglar ovan kan ju utan problem förökas, och integralen (2) kan approximeras med ett antal termer enligt (1).

Introduktion till integraler

Kommentera