Andraderivata mm

Matematik D - NV09FMTDetta inlägg är en introduktion till begreppet andraderivata, innehållande figurer och tillämpningsområden.
Tidsplan för avsnittet Andraderivata

Lektionerna den 21 mars och 22 mars

Avsnittets omfattning i Origo D
Sid. 26 – 34

Rekommenderade uppgifter i Origo D
1201, 1203, 1205, 1208, 1211, 1213, 1215, 1216, 1217, 1218, 1223, 1224, 1225, 1228, 1233,  1234, 1238 (Uppgifterna på sid. 34 är i princip representativa för Matematik C. Hur kan man lösa dem med kunskaper ur D-kursen?)

I Matematik C studerade vi funktioners maximum och minimum med hjälp av derivata. När derivatan är noll vet vi att funktionen måste ha någon form av lokal extrempunkt. För att ta reda på vilken sorts extrempunkt använde vi teckenstudium. Ett exempel på teckenstudium ser vi i figuren nedan.

Teckenstudium av funktion
Teckenstudium av funktion

Vi kommer nu att introducera begreppen andraderivata. Andraderivatan av en funktion y = f(x) betecknas antingen

y''=f''(x)

eller

y''=\frac{d^2y}{dx^2}

Andraderivatan till en funktion erhålls om funktionens derivata deriveras (funktionen deriveras ”två gånger”). Om derivatan är förändringshastigheten hos en funktion, så är andraderivatan förändringshastigheten hos derivatan. På samma sätt som funktionen når ett maximum eller minimum där derivatan är noll (kan även vara en terasspunkt), så gäller det att derivatan når ett maximum eller minimum där andraderivatan är noll. Med andra ord: där andraderivatan är noll är funktionens lutning maximal eller minimal. Vad har vi för användning av detta?

I funktionsgrafen nedan finns ett markerat område. I detta område ser vi att tangentens lutning (derivatan) minskar med ökande x-värden (man säger att funktionen är konkav nedåt). Vi ser att funktionen går mot ett lokalt maximum.

Konkav nedåt - derivatan minskar med ökande x-värden
Konkav nedåt - derivatan minskar med ökande x-värden

Observera att derivatan minskar även till höger om  maximum. Det innebär att andraderivatan maximum är negativ, vilket leder till följande viktiga slutsats: Om derivatan är noll och andraderivatan är negativ innebär det att funktionen har ett lokalt maximum där.

Ett annat fall visas nedan: Derivatan ökar med ökande x-värden i det markerade området (man säger att funktionen är konkav uppåt). Vi ser att funktionen går mot ett lokalt minimum.

Konkav uppåt - derivatan ökar med ökande x-värden
Konkav uppåt - derivatan ökar med ökande x-värden

På samma sätt som ovan noterar vi att derivatan ökar även till höger om minimipunkten. Det leder till slutsatsen: Om derivatan är noll och andraderivatan är postitiv innebär det att funktionen har ett minimum där.

En punkt där derivatan går från t ex negativ till positiv via noll kallas för en funktions (lokala) extrempunkt. Den karaktäriseras alltså av derivatans teckenväxling (se exemplet på teckenstudium ovan). Även andraderivatan kan växla tecken, och det kallas för en funktions inflexionspunkt. En inflexionspunkt är en punkt där en funktionskonkavitet ändras; det kan t ex illustreras genom att tangenten ”skär” grafen i en punkt (just det; i inflexionspunkten). Detta illustreras i grafen nedan.

Inflexionspunkt - andraderivatan undergår en teckenväxling
Inflexionspunkt - andraderivatan undergår en teckenväxling

I denna figur övergår andraderivatan att gå från negativ (lutningsminskningshastigheten ökar från x ≈ -3.6) till positiv (lutningsminskningshastigheten minskar från x ≈ 0.3). Och som sagt ovan: där andraderivatan är noll har derivatan nått ett maximum eller minimum, vilket kan betyda att den är som brantast just där (se exempel på undantag beträffande brantheten i en övning längst ned i detta blogginlägg).

En egenskap som funktioners derivata och andraderivata uppenbarligen har är att de inte nödvändigtvis når ett nollställe samtidigt. Det kan även vara så att när derivatan är positiv (funktionen växer) så är andraderivatan negativ (tillväxthastigheten minskar). Det visar nedanstående bild, där vi utgår från funktionen y = –x+ 2x2 + 5x 6 och ritar graferna för denna och dess första- och andraderivator.

Funktion med första- och och andraderivata
Funktion med första- och och andraderivata

Hur kan man identifiera inflexiosnpunkten i funktionsgrafen utifrån grafen på andraderivatan?

Det finns även funktioner som är funtade så att andraderivatan är noll där derivatan är noll. Ofta är det terasspunkter i dessa fall, men teckenstudium bör göras i dessa fall. Testa att derivera funktionen y = x3 vid = 0, (både en och två gånger). Resultat?

Just det! Idag, på publiceringsdatum av detta inlägg, så är det vårdagjämningen. Med risk för att gå händelserna (beträffande trigonometriska funktioner) i förväg så vill jag ändå illustrera hur dagslängdens variation, med derivata och andraderivata, kan åskådliggöras grafiskt. Vad kan man dra för slutsatser om detta?

Soltid som funktion av årstid (storleksordningar på värden runt 60:de breddgraden)
Soltid som funktion av årstid (storleksordningar på värden runt 60:de breddgraden)
Derivata av soltid som funktion av årstid
Derivata av soltid som funktion av årstid
Andraderivata av soltid som funktion av årstid
Andraderivata av soltid som funktion av årstid
Andraderivata mm

Kommentera