Deriveringsregler för potensfunktioner

Tidsplan: Lektioner under vecka 45

Material

Kapitel 5.1 i Origo C
Mathematicademonstrationen Derivative as a Function (Ladda hem programmet Wolfram CDF-player, om du inte redan har detta, och öppna Derivative as a Function i detta).

Rekommenderade uppgifter i Origo C

5101, 03, 05, 07, 08, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 32, 33, 35, 36, 37 och 39.

Teori

Kommer ni ihåg i grundskolans mellanstadium, när man fick uppgifter av typen ”Kalles mamma är 30 år äldre än Kalle. Tillsammans är de 46 år. Hur gammal är Kalle?”. Man fick sitta och klura på detta, för att till slut komma på en lösning efter mycket prövande. Sedan fick vi ekvationer som verktyg, varpå det gick snabbt att lösa denna typ av problem.

Varför tar jag upp detta nu? Det finns en orsak. Ni har just lärt er att använda derivatans definition på polynomfunktioner. Många har blivit vassa på att derivera med limes och h, där h närmar sig noll. Men det är jobbigt, redan en tredjegradsfunktion blir lång och det kan vara svårt att hålla ihop alla termer och parenteser. Men i allmänhet är det inte heller så man gör när man deriverar. Vi använder oss av deriveringsregler, och det gör saker och ting enklare. Mycket enklare.

Innan vi går in på deriveringsreglerna vill jag dra en tydlig skiljelinje. Derivatan av en funktion i en punkt är detsamma som lutningen på den tangent som dras genom denna punkt. Detta är en sanning. Däremot vet vi att att alla funktioner utom de linjära ändrar sin lutning beroende på var på x-axeln vi befinner oss. En andragradsfunktion, t ex, ändrar sin riktning från positiv till negativ beroende på läget (det innebär i sin tur att det måste finnas ett ställe där derivatan är noll – detta resonemang kallas för Instängningsprincipen). Finns det då någon regel för hur derivatan förändras med x? Vi gör en tabell för en grundläggande exempelfunktion, nämligen $f(x)=x^2$ :

$f'(-2)=-4$

$f'(-1)=-2$

$f'(0)=-0$

$f'(1)=2$

$f'(2)=4$

Vi ser att derivatan verkar följa ett mönster! Nämligen att när x ökar med ett steg ökar y med två steg. Detta kan vi skriva som $f'(x)=2x$ .

När vi deriverar funktionen $f(x)=x^2$ , så erhålls för alla x att $f'(x)=2x$ . Det innebär t ex att $f'(5)=10$ och $f'(-4)=-8$ . Detta är tangenternas lutning i de punkter där $x=5$ respektive $x=-4$ .

Så skillnaden jag vill göra är att derivatans värde är lutningen på den tangent som går genom en punkt på en funktion och att derivatans funktion är den som man får fram genom en deriveringsregel (ur funktionen får man sedan fram ett värde för valfritt x).

Den allmänna deriveringsregeln för potensfunktioner lyder:

Exempel på användning av denna regel:

Exempel på användning av deriveringsregler för potensfunktioner — Exempel på användning av deriveringsregeln för potensfunktioner

Ett viktigt tillägg är konstanter i funktioner. Definitionen på en konstant är ju att den inte förändras – och definitionen på derivata är förändringshastighet. Alltså måste derivatan av en konstant vara noll!

Ett annat viktigt tillägg är att funktioner som består av ett antal termer potensfunktioner deriveras termvis.

Exempel: $f(x)=2x^3+5x^2+6x+7, f'(x)=6x^2+10x+6$

Hur gör man då för att få derivatans värde vid ett givet x-värde? Jo, tag fram derivatans funktion för funktionen i fråga, och ersätt x med det värde vid vilket derivatan eftersöks.

Exempel: Låt $f(x)=2x^3$ . Bestäm $f'(1)$ .