Lektioner v. 43 och 45: Integraler

Matematik D - NV07MTVi går nu in i det sista avsnittet i Matematik D, som behandlar integraler.

Tidsplan för detta avsnitt: Torsdag den 22 oktober, måndag den 2 november och torsdag den 5 november.

Material: Matematik 4000 kurs D sid. 158 – 171

Rekommenderade uppgifter: 3402, 3403, 3405, 3406, 3409, 3411, 3412, 3413, 3416, 3418, 3420, 3422, 3423, 3424, 3426, 3427, 3429, 3430

Extra material: Mathematica-demonstrationen Integration by Riemann Sums (Mathematica Player Wolfram CDF Player behövs för att köra demonstrationen).

Integraler med hjälp av rektanglar och parallelltrapetser

En integral är ett tal, som i sin enklaste form kan tolkas som arean på det område som begränsas av två ändpunkter på en funktionsgraf samt x-axeln. Se ett sådant område nedan.

Yta under funktionsgraf
Yta under funktionsgraf

För att bestämma arean under området mellan x=a och  x=b (i illustrationen ovan är a=2 och b=5) kan man täcka det med rektanglar på ett lämpligt sätt. Summan av rektanglarnas areor kommer då att approximera integralen (arean). Se exempel på det nedan.

Approximation av integral med mittpunktsrektanglar
Approximation av integral med mittpunktsrektanglar

Vi delar in området i flera delintervall med en och samma bredd, \Delta x. Varje rektangel har här en höjd som utgörs av avståndet från mittpunkten av respektive rektangel till grafen (vi kallar det för mittpunktsrektanglar). Om vi ökar antalet rektanglar (respektive rektangel ska fortfarande ha en sinsemellan lika stor bredd, \Delta x) så kommer deras summa att bättre och bättre att approximera arean under grafen. Om vi betecknar respektive x-värde som utgör rektanglarna mittpunkter med m_1, m_2,  latex m_3$, m_4osv. så kommer höjden på respektive rektangel att vara f(m_1), f(m_2), f(m_3), f(m_4) osv. Då kommer den sammanlagda arean (låt oss beteckna den med I) av rektanglarna att bli

I=(f(m_1)+f(m_2)+f(m_3)+f(m_4)+...)\cdot \Delta x\hfill (1)

Antalet termer i denna summa går mot oändligheten, vilket medför att \Delta x \rightarrow 0. Då \Delta x \rightarrow 0 skrivs det ut med beteckningen dx.

Hela summan ovan (då antalet termer går mot oändligheten) kan betecknas enligt följande:

I=\int_{a}^{b}f(x)dx\hfill (2)

Det går naturligtvis att använda andra geometriska figurer än rektanglar för att approximera arean under grafen. Man kan tänka sig att dela in ytan under kurvan med flera olika sorters geometriska figurer, och komma väldigt nära det korrekta värdet. Man vill dock ha en generell metod, med vars hjälp det går att utöka antalet geometriska figurer enligt ett givet mönster. Rektanglarna ovan kan ju utan problem förökas, och integralen (2) kan approximeras med ett antal termer enligt (1).

Ytterligare en metod är att dela in området med hjälp av parallelltrapetser (istället för rektanglar). Om vi låter trapetserna stå på x-axeln med ”benen” på x_1, x_2, x_3, x_4 osv, uttrycker vi I (enligt (2) ovan) gäller

I=(\frac {f(x_1)+f(x_2)}{2}+\frac{f(x_2)+f(x_3)}{2}+\frac{f(x_3)+f(x_4)}{2}...)\cdot \Delta x\hfill (3)

Kanske känns approximationen med mittpunktsrektanglar mer intuitiv än trapetsmetoden. Dock är nog approximationen med trapetser mer lätträknad; vi slipper ju ta beräkna mittpunkterna!

Riemannsummor – en metod att sätta gränser

I vissa fall (nämligen i situationer där man ska bevisa satser som involverar bl a integraler) kan det vara intressant att hitta ett intervall som integralen kommer ligga emellan (innebörden om att man matematiskt försäkrar sig om ett uttryck som X_1 \leq I \leq X_2. En metod, som utvecklades av Bernhard Riemann på 1800-talet (se sid. 164 i Matematik 4000 kurs D), bygger på approximation med rektanglar. Men istället för mittpunktsrektanglar låter man ena hörnet på respektive rektangel tangera funktionsgrafen (man måste inte se integraler som arean under en graf, men de funktioner vi arbetar med i gymnasiet låter oss göra det; på universitetet kommer de som läser matematik att komma i kontakt med funktioner och integraler som inte låter sig representeras grafiskt i våra dimensioner!). Se nedanstående bild (klicka på den för att få den större) där det illustreras hur rektanglarnas övre vänstra respektive högra hörn tangerar grafen.

Riemmansumma - vänsterställda och högerställda rektanglar
Riemmansumma - vänsterställda och högerställda rektanglar (Klicka på bilden för att komma till dess beskrivning med ursprungs- och licensinformation)

I det fall vi låter rektangelns vänstra hörn tangera grafen får vi i detta fall en undersumma, vilket innebär att integralen som lägst kan att anta detta värde (i det här fallet 3.86322; se markerat område i figuren).

I det fall vi låter rektangelns högra hörn tangera grafen får vi i detta fall en översumma, vilket innebär att integralen som högst kan anta detta värde (i det här fallet 3.99051; se markerat område i figuren).

I exemplet ovan kan vi alltså med matematisk visshet säga att integralen kommer uppfyller följande: 3.86322 \leq I \leq 3.99051.

Om det är ”vänster”- eller ”höger”rektanglar som utgör under- respektive översumman beror på funktionens utseende.

Integralers koppling till primitiva funktioner

Även om vi inte i gymnasiet kommer att använda så mycket numeriska metoder, som ovanstående stycken visar, är det bra att tillägna sig en förståelse vad integraler faktiskt innebär för något. Precis som när vi utvecklade deriveringsregler i Matematik C (med sekanter som närmade sig tangenter), så kommer vi nu till en metod för att beräkna integraler. Den metoden tar sitt avstamp i de redan behandlade primitiva funktionerna.

Kopplingen mellan integraler och primitiva funktioner utgörs av något som kallas för integralkalkylens fundamentalsats. Den säger följande:

\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)

där F'(x)=f(x) (alltså: F(x) är en primitiv funktion till f(x)). Du kanske drar dig till minnes att de primitiva funktionerna inte är bestämda utan ett randvillkor; t ex om f(x)=x^2, så gäller att alla primitiva funktioner skrivs enligt F(x)=\frac {x^3}{3}+C, där C är en konstant som är oberoende av x.

F(b) och F(a) har också denna konstant, men det är samma konstant för dessa båda värden. När en integral beräknas görs det på en specifik funktion; det är samma funktion som F(b) och F(a) beräknas för. Därför kommer konstanten att ”subtraheras bort” i integralens värde.

Lektioner v. 43 och 45: Integraler

Kommentera