Vecka 38: Ekvationslösning

Matematik A - NV09FMTVeckas uppgifter i Origo AB

 

 

Tisdag: 2141, 2143, 2144, 2145, 2146, 2147, 2150, 2151, 2153, 2154, 2156, 2157, 2158
Onsdag: 2211, 2213, 2215, 2216, 2217, 2218, 2220, 2222, 2223
Torsdag: 2224, 2226, 2228, 2229, 2230, 2232, 2234, 236, 2237, 2239, 2243, 2247
Fredag: 2265, 2267, 2268, 2269, 2272, 2273, 2275, 2276, 2277, 2278, 2279, 2280 samt Diskutera och fundera

Denna veckas tema är ekvationslösning. Ordet ekvation betyder likhet, och har att göra med att man ska bestämma ett okänt tal, t ex som betecknas x, så att vänsterledet och högerledet ska bli lika. Exempel på ekvation.

2x+5=3x (Exempel på lineär ekvation)

Här utgör 2x+5 vänsterledet (V.L) i ekvationen och 3x utgör högerledet (H.L). Det finns flera olika typer av ekvationer. Den lineära typen, som den i exemplet ovan, löser man genom att vi använder de fyra räknesätten på ett smart sätt i varje led för att x till slut ska stå ensamt i ett led och i det andra ledet ska det stå ett tal. Regeln är att det man gör i ena ledet måste även göras i andra ledet. Se exemplen på sid. 61 för denna metod.

En annan typ av ekvation är de med nämnare. Här kan både x stå i nämnaren och ett känt tal. Metoden för att få bort nämnaren är att multiplicera varje term i ekvationen, såväl vänsterled som högerled, med minsta gemensamma nämnare (MGN). Det gör att nämnarna kan förkortas bort, och vi får en lineär ekvation som i exemplet ovan. Se exempel på detta på sid. 64 i Origo AB.

En typ av ekvationer vi nu börjar stifta bekantskap med är enklare andragradsekvationer. Den enklaste typen är på formen enligt nedanstående exempel:

x^2=9 (Exempel på andragradsekvation)

Metoden är att ”ta kvadratroten” ur V.L och H.L. Då får vi en lösning x=3. Vi ser att 3\cdot3=9, så det är en lösning till ekvationen. Men: även (-3)\cdot(-3)=9. En andragradsekvation har alltid två lösningar. Se även exempel på sid. 67.

En sista variant av ekvationer (i detta kapitel) är de ekvationer där det obekanta talet har en exponent som inte är 2, se exempel nedan:

(x+2)^4=81 (Exempel på ekvation med exponent)

Egentligen används samma grundläggande metod här som när vi löser lineära ekvationer – det vi gör i ena ledet gör vi också i det andra. I det här fallet är det exponenten som vi vill få till 1. Se hur det går till nedan.

(x+2)^{4\cdot \frac{1}{4}}=\pm 81^{\frac{1}{4}}

Exponenten i V.L blir nu 1 och exponenten i H.L blir \frac{1}{4}. Sedan löser vi den som en lineär ekvation (x+2=\pm 3).

81^{\frac{1}{4}} innebär svaret på följande fråga: vilket tal ska vi höja upp med 4 för att svaret ska bli 81?”. Man kan skriva 81^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{81} och utläses ”fjärde-roten ur 81”.

Har vi ekvationen (x^2=9 löser vi den genom att dra kvadratroten ur båda leden (se Exempel på andragradsekvation ovan), men vi kan även lösa den med samma metod som ekvationen ovan med exponenten 4 (Exempel på ekvation med exponent). Se här.

x^2=9

x^{2\cdot\frac{1}{2}}=\pm 9^{\frac{1}{2}}

Det innebär att 9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}

T ex gäller även:

x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x} (kvadratroten ur x)

x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x} (kubikroten ur x)

x^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{x} (fjärderoten ur x)

Allmänt gäller:

x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x} (n:te-roten ur x)

För de ekvationer där exponenten utgörs av ett positivt heltal erhålls lika många lösningar som heltalet anger (lösningarna sammanfaller ibland, mer om det i Matematik B och Matematik C).

Vecka 38: Ekvationslösning

Kommentera