Att utföra beräkningar i trianglar som ej är rätvinkliga

Utifrån definitionerna för de trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens kan sidor och vinklar beräknas i rätvinkliga trianglar. Däremot säger inte definitionerna direkt något om beräkningar i allmänna trianglar.

I Matematik D ingår tre viktiga trigonometriska satser med vars hjälp area, sidor och vinklar kan bestämmas i godtyckliga trianglar; givet att några av triangelns parametrar är kända. Dessa satser kallas areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen. Jag kommer inte att härleda dem här på bloggen, utan hänvisar till bokens härledningar. Däremot kommer jag strax att påtala några viktiga detaljer att tänka på vid användning av dessa satser. Men först sammanfattar jag satserna utifrån nedanstående givna triangel.

Triangelsatserna gäller såväl för trianglar med enbart spetsiga vinklar som för dem med en trubbig vinkel
Triangelsatserna gäller såväl för trianglar med enbart spetsiga vinklar som för dem med en trubbig vinkel
Areasatsen: \text {Area}=\frac{b\cdot c\cdot \sin A}{2}=\frac{a\cdot c\cdot \sin B }{2}=\frac{a\cdot b\cdot \sin C}{2}
Sinussatsen: \frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{B}}{b}=\frac{\sin{C}}{c}
eller
\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}
Cosinussatsen: a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}
b^2=a^2+c^2-2ac\cos{B}
c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}

I areasatsen, som i grund och botten bygger på definitionen av sinus i en rätvinklig triangel, ser vi att vi att en triangels area kan beräknas om vi känner till två sidor med dess mellanliggande vinkel.

Sinussatsen, som är en algebraisk konsekvens av areasatsen, anger att förhållandet mellan en sidas längd och sinusvärdet på denna sidas motstående vinkel är detsamma som förhållandet mellan en annan sidas längd och dess motstående vinkel i samma triangel. Det kanske ser ovant ut med tre led (två likhetstecken), men det finns ju tre sådana förhållanden i triangeln. Använd de förhållanden som passar bäst!

I cosinussatsen beräknas en sidas längd med hjälp av längden på två sidor och dess mellanliggande vinkel. En rolig detalj är att om den mellanliggande vinkeln är rät kommer dess cosinusvärde att bli noll, varpå satsen reduceras till Pythagoras sats. Pythagoras sats är alltså ett specialfall av cosinussatsen.

Som vi vet sedan tidigare existerar trigonometriska värden även för vinklar som är större än 90°. Det innebär att vi önskar att ovanstående satser skall gälla även för trianglar med trubbiga vinklar. Det visar sig att satserna gäller. Bevisen är lämnade som övningar i c-uppgifterna (i boken Origo D: uppgift 3213 för areasatsen och uppgift 3237 för cosinussatsen). Det som man måste tänka på är att flera trianglar kan uppfylla de efterfrågade villkoren. Jag tar ett exempel för varje sats.

Exempel 1 – två olika trianglar kan ha samma area

Uppgift: Två sidor i en triangel har längderna 5.0 respektive 9.0 cm. Dess area är 19 cm2 , beräkna den mellanliggande vinkeln v.

Lösningsförslag: Tillämpning av areasatsen ger

19=\frac{5\cdot 9\cdot \sin v}{2}\Rightarrow v=\arcsin \frac{2\cdot 19}{5\cdot 9}=25^{\circ}

Men också (enligt enhetscirkeln, redogjort för i detta inlägg)

19=\frac{5\cdot 9\cdot \sin v}{2}\Rightarrow v=180^{\circ}-\arcsin \frac{2\cdot 19}{5\cdot 9}=155^{\circ}

Trianglarna, som alltså båda har samma area, ser ut enligt nedanstående figur.

Två sidor oförändrade kan ge samma area på en triangel
Två sidor oförändrade kan ge samma area på en triangel

Exempel 2 – sid- och vinkelförhållanden kan uppfyllas på olika sätt

Uppgift: I en triangel ABC är sidan a 5.0 cm och sidan b är 7.0 cm. Vinkel A i triangeln är 35°. Beräkna vinkel B och vinkel C samt sidan c.

Lösningsförslag: Tillämpning av sinussatsen ger

\frac{5.0}{\sin{35^{\circ}}}=\frac{7.0}{\sin{B}}\Rightarrow B=\arcsin \frac{7.0\cdot \sin 35^{\circ}}{5.0}=53^{\circ}

eller

\frac{5.0}{\sin{35^{\circ}}}=\frac{7.0}{\sin{B}}\Rightarrow B=180^{\circ}-\arcsin \frac{7.0\cdot \sin 35^{\circ}}{5.0}=127^{\circ}
Enligt vinkelsumman i en triangel ger det att vinkel C är antingen 92° eller 18°. Tillämpas sinussatsen på dessa vinklar i tur och ordning, erhålls

\frac{5.0}{\sin{35^{\circ}}}=\frac{c}{\sin{92^{\circ}}}\Rightarrow c=\frac{5.0\cdot \sin{92^{\circ}}}{\sin{35^{\circ}}}=8.7

och

\frac{5.0}{\sin{35^{\circ}}}=\frac{c}{\sin{18^{\circ}}}\Rightarrow c=\frac{5.0\cdot \sin{18^{\circ}}}{\sin{35^{\circ}}}=2.7

Uppenbarligen uppfylls triangeln, med villkoren ställda i uppgiften, med två olika värden på vinkel B respektive vinkel C samt två olika värden på sidan c. Figuren nedan visar de olika trianglarna.

Sid- och sinusförhållanden samma trots trianglar med olika mått
Sid- och sinusförhållanden samma trots trianglar med olika mått

Exempel 3 – cosinussatsen ger att en sida kan vara olika lång

Uppgift: Vinkeln A i triangeln ABC är 55°. Den mellanliggande sidan b är 8.0 cm och den andra mellanliggande sidan c är av okänd längd. Sidan a (som står mittemot A) är 7.0 cm. Bestäm sidan c.

Lösningsförslag: Tillämpning av cosinussatsen ger

7.0^2=8.0^2+c^2-2\cdot 8.0\cdot c\cdot \cos{55^{\circ}}

Då denna ekvation löses med avseende på c erhålls

c1 = 2.1 cm och c2 = 7.0 cm.

Då cosinussatsen utgörs av en andragradsekvation erhålls i sådana här lägen två olika lösningar. Se nedanstående figur för hur trianglarna ser ut för denna situation.

Med två givna sidor och en given vinkel enligt denna figur finns två möjliga trianglar enligt cosinussatsen
Med två givna sidor och en given vinkel enligt denna figur finns två möjliga trianglar enligt cosinussatsen

En extrauppgift: Försök skapa triangeln i figuren ovan om a = 5.0 cm, samtidigt som vinkel A och sidan b är oförändrade. Fungerar det? Hur kommer det då att gå när detta värde på a sätts in i cosinussatsen, med oförändrade värden i övrigt?

Slutsatser

Areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen kan i många fall användas för att beräkna area, sidlängder och vinklar i trianglar som inte nödvändigtvis behöver vara rätvinkliga. Då de trigonometriska funktionerna ger samma värde för olika vinklar gäller att trianglar som uppfyller ett och samma villkor kan se olika ut. På samma sätt som att t ex andragradsekvationer ger två lösningar kommer också de trigonometriska funktionerna att göra det – försök att ”lägga in detta i ryggmärgen” så att ingen situation missas!

Rekommenderade uppgifter på avsnitt 3.2 i Origo D

Tidsperiod: 24 maj – 31 maj

3201, 02, 04, 06, 07, 08, 11, 13

3214, 16, 17 (notera speciellt i vilka fall vi får två olika fall på vinkeln v), 18, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25

3226, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 36, 37

Kommentera gärna, markdown-formatering OK.