Newton-Raphson

Matematik D - NV09FMTVi har tidigare sett att derivata är ett utmärkt verktyg vid optimeringsproblem (finn maximum och minimum för en given funktion); det kommer vi för övrigt att återkomma till om en vecka. Dessförinnan ska vi ta en titt på ytterligare en tillämpning, nämligen ekvationslösning med hjälp av derivata.

Många ekvationer finns ingen lösningsformel för (t ex en allmän sjättegradsekvation). Nuförtiden kan vi lösa de flesta ekvationer med miniräknare eller dator, men så har det inte alltid varit. Dessutom så måste det ligga en lösningsmetod bakom miniräknarprogrammen, så därför introducerar vi Newton-Raphsons metod för ekvationslösning.

Newton-Raphsons ekvationslösningsmetod är en iterativ lösningsmetod. Det går ut på att vi sätter in ett startvärde i en formel, som ger ett nytt värde som ligger lite närmare den korrekta lösningen. Sedan sätter vi in det värdet i samma formel, så kommer vi ytterligare lite närmare. På det sättet kan man fortsätta tills man nått den gräns för noggrannheten som vi önskar (vilket naturligtvis kan variera).

Låt oss börja bakifrån; vi söker en lösning på en ekvation som enbart har en enda lösning (och den går inte att finna algebraiskt). Metoden ger värdena x= 1.256367, x= 1.274832, x= 1.275216 och x= 1.275228. Ur detta kan vi dra slutsatsen att vi nått en lösning med tre decimalers noggrannhet, eller en felmarginal på \pm0.0005
.

Men hur ser metoden ut? Och var kommer derivatan in i bilden? Jag låter nedanstående bild förklara sammanhanget; det går ut på att hitta ett funktionsvärde, derivera funktionen vid detta värde (vilket grafiskt innebär att dra en tangent) för att se var denna tangent skär x-axeln.

Newton-Raphson-beskrivning (klicka på bilden för att komma till dess beskrivningssida med licensinformation).

Beräkna x2 utifrån x(som erhållits genom en mer eller mindre kvalificerad gissning) enligt formeln i figuren (finns en härledning utifrån räta linjens ekvation i Origo D på sid. 23). I och med att det är tangentens skärningspunkt med x-axeln som beräknas måste ekvationen skrivas på formen f(x) = 0.

En videoanimering (som är byggd på denna bild på Wikipedia av Ralf Pfeifer, med licens GFDL eller CC-BY-SA-3.0 , via Wikimedia Commons) till denna sekvens finns nedan:

Vi kommer att gå igenom exemplet på sid. 24. Rekommenderade uppgifter är 1174 – 1183. Tid för detta är måndageslektionen samt onsdagslektionen (som är kort).

Newton-Raphsons metod kan även användas för att uppskatta irrationella tal. T ex är talet \sqrt 2 är en lösning till ekvationen

x^2-2=0

Löser man denna ekvation med Newton-Raphsons metod erhålles ett successivt ett bättre och bättre närmevärde på talet.

Ett annat exempel där man kan få användning av Newton-Raphsons metod (eller iallafall en numerisk lösningsmetod) är om man ska ta reda på vilken punkt på en graf som ligger närmast en annan punkt utanför grafen.

Newton-Raphson

Kommentera