Derivatan av ln x

Matematik D - NV09FMTDetta inlägg handlar om hur en funktion som innehåller den naturliga logaritmen deriveras.

För att derivera funktionen y = ln x kan man göra omskrivningen

x=e^{y(x)} \Rightarrow x-e^{y(x)}=0\hspace{20 mm}(1)

Detta skrivsätt uttrycker x som funktion av y.  Vi skulle enkelt kunna skriva derivatan \frac{dx}{dy} (förutsatt att x är en funktion av y), men det är inte det vi vill (vi vill ju derivera vår ursprungliga funktion, y(x)=\ln x).

Nu ska vi försöka oss på konststycket att derivera x med avseende på x.  Detta går, då y, som ju x beror utav, är just en funktion av x, (detta kallas för implicit derivering, vilket läroboken inte nämner), genom att derivera respektive led i ovanstående omskrivning (1):

D(x-e^{y(x)})=D(0)\hspace{20 mm}(2)

Observera här att deriveringen sker med avseende på x, och att därför D(x) = 1 och att D(e^{y(x)})=e^{y(x)}\cdot y'(x), där y'(x) är den inre derivatan av e^{y(x)}. Vi måste multiplicera med den inre derivatan då exponenten till e är en funktion, inte en konstant. D(0)=0, naturligtvis! Då deriveringen utförs på hela ekvationen (2) så erhålls:

1-e^y\cdot y'(x)=0\hspace{20 mm}(3)

varpå

y'(x)=\frac{1}{e^{y(x)}}=\frac{1}{x}\hspace{20 mm}(4)

Här har vi alltså vår åtråvärda deriveringsregel för funktionen y(x)=\ln x.

De rekommenderade  uppgifterna i Origo D är 1165 – 1173. När detta är klart kan man antingen ge sig på att derivera funktionen f(x)=x^x (japp, här kommer faktiskt derivatan av logaritm-funktionen väl till pass), eller ta sig an tidigare uppgifter som inte hunnits med tidigare. På måndag (den 14 mars) ger vi oss i kast med Newton-Raphsons metod för ekvationslösning.

Derivatan av ln x

Kommentera