Derivatan av sammansatta funktioner


Matematik D - NV09FMTLektionstid att arbeta med detta avsnitt: Tisdagen den 22 och fredagen den 25 februari (sedan Sportlov!)

Rekommenderade uppgifter: 1150, 52, 54, 55, 57, 59, 60, 61, 63 + separata tillämpade uppgifter (som vi kommer att arbeta med framför allt under fredagens lektion).

En sammansatt funktion är en funktion som har en ”funktion i funktionen” (hängde ni med!?!). En grundläggande typ av en sådan funktion är t ex

f(x)=e^{2x}

Vi kan se denna funktion som sammansatt av f(h(x))=e^{h(x)} där h(x)=2x.

Regeln för derivering av denna typ av funktioner kallas kedjeregeln, vilken finns härledd på sid. 17 och sammanfattad i två uttrycksformer på sid. 18. Intressant nog bygger även denna härledning (precis som produktregeln) på en omskrivning, som kanske inte är helt intuitiv. Dock gäller samma sak för härledningen av kedjeregeln som för produktregeln: du skall kunna använda dem, men kommer inte att avkrävas en härledning.

Kedjeregeln kan även tillämpas för funktioner som är kapslade i fler nivåer än två. Ta t ex funktionen

g(x)=(\sqrt{2x^2+1})^7

Den är inte helt enkel att derivera, men börjar man med att dela upp den i sina ”funktionselement”, varpå kedjeregeln tillämpas på dessa, är dess derivata klar. Varför inte testa att derivera denna funktion som en utmaning? Sedan kan du kolla på Wolfram|alpha om du kommit fram till rätt svar

Vi kan även skapa tillämpningar av dessa sammansatta funktioner som vid första ögonkastet ser ganska svåra ut. En uppgift som ni kommer att få går ut på att beräkna hur snabbt en iskubs volym förändras vid ett givet tillfälle då vi känner till hur snabbt dess sida minskar (eftersom sida och volym inte följer varandra linjärt är det inte ”bara” att ta sidans förändring upphöjt till tre).

Med hjälp av de nu genomgångna reglerna har vi utvecklat vår deriveringsrepertoar att omfatta många typer av funktioner. Efter Sportlovet kommer vi att gå igenom ytterligare en funktion att derivera, nämligen logaritmfunktionen (med basen e). Som av en händelse kommer vi då att använda oss av kedjeregeln…

Derivatan av sammansatta funktioner

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut / Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut / Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut / Ändra )

Google+ photo

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut / Ändra )

Ansluter till %s