Detta avsnitt i matematiken kommer att vara det avslutande i vår Matematik C. Vi har redan kommit i kontakt med begreppet talföljd i Matematik A, och vi kommer att återstifta bekantskapen med såväl följder definierade i en sluten formel som rekursivt definierade följder.
Huvudmomentet är dock två typerna av serier; de aritmetiska serierna och de geometriska serierna. I detta inlägg ger jag en introduktionsförklaring till dessa begrepp, och i slutet så finns några uppgifter att lösa med hjälp av kalkylprogram.
Aritmetiska serier
För de aritmetiska serierna gäller att skillnaden mellan två intilliggande tal är konstant. T ex serien 1, 5, 9, 13, … En typisk uppgift som har med aritmetiska serier att göra är att räkna ut t ex hur många sittplatser det finns i en salong om raden längst fram har 10 stolar, rad nr. 2 har 12 stolar och rad nr 3 14 stolar osv. Jag tror att många kan lista ut lösningen till sådana problem utan kunskaper i Matematik C, men denna kurs syftar till att formalisera begreppen en smula. Vi kommer att härleda formler för att bestämma ett visst tal i en serie och en annan formel för att bestämma summan av serien. Det sägs att matematikern Gauss, som levde på 1700-talet, fick i uppgift att summera alla heltal mellan 1 och 100. Han klarade detta blixtsnabbt tack vare att han hanterade följden som en serie.
Geometriska serier
För geometriska serier gäller att kvoten mellan två intilliggande tal är konstant. T ex serien 2, 4, 8, 16, 32, … Typiska uppgifter som har med dessa serier att göra har t ex med ränta eller medicinering att göra. Testa t ex att lösa följande problem:
En patient tar varje morgon medicin i form av en tablett på 20 mg. För varje dygn utsöndrar kroppen 50% av den ursprungliga mängden. Hur stor mängd har patienten i kroppen efter 30 tabletter?
Även dessa följder kommer vi att formalisera genom att hitta formler för ett givet tal i serien respektive summan av ett antal element. Vi kommer också att titta på summan av vissa oändliga följder, och möjligen definiera talet e som ett specifikt gränsvärde.
Datoranvändning
Min önskan är att var och en inte bara ser seriehanteringen som formler, utan att man försöker visualisera en serie med alla ingående tal. Då kommer man att upptäcka att formeln är ett verktyg, och inte en lösning i sig. För att uppmuntra detta ”tänk” ser jag gärna datoranvändning på mattelektionerna. Excel, eller andra kalkylprogram, är ett utmärkt verktyg. Detta skall förstås inte ersätta formlerna vi kommer att gå igenom, men jag tror att det är ett viktigt steg i inlärningsprocessen. Den första lektionen kommer vi att inleda med tre problem som ska lösas i Excel. Sedan kommer vi att komma in på formelhantering för de båda typerna av serier.
Tidsplan
Vi kommer att arbeta med kapitlet under veckorna 4 och 5.
Några rekommenderade uppgifter
Vi kommer att arbeta med flera typer av uppgifter, inte enbart ur läroboken. Men några rekommenderade uppgifter ur vår lärobok är:
3102, 04, 05, 08, 09, 11, 13, 15, 16
3118, 21, 23, 25, 26, 28, 30, 32, 33,
3202, 03, 05, 08, 10, 11, 14,
3215, 17, 18, 19, 22, 23, 24, 25, 27, 28
3230, 32, 34, 36, 37, 39, 41
Till slut…
Som jag sa kommer vi att arbeta med med några uppgifter som introduktion i kalkylprogrammet Excel. Dessa uppgifter hittar du här.