Kapitel 6
Rekommenderade uppgifter Kapitel 6.1:
6101, 03, 04, 05, 07, 09, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 23, 24, 25, 26
Rekommenderade uppgifter Kapitel 6.2:
6201, 03, 04, 06, 08, 09, 11 (separat genomgång), 13 (separat genomgång), 14, 16, 18, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 27 och 28
Blandade uppgifter efter eget behov
Med bara tre veckor kvar innan jullovet har vi ett kapitel kvar som behandlar tillämpningar på derivator. Några viktiga begrepp är strängt växande respektive avtagande funktioner, lokala extrempunkter (vilket innebär lokala maximum eller minimum, vars innebörd utreds nedan), globala extrempunkter, derivatans teckenväxlingar, terasspunkter och derivatans nollställen. Med hjälp av bl a dessa begrepp kan man sedan skissa en funktionsgraf utan grafritande miniräknare. Det går också att ta reda på ett största eller minsta värde på ett förlopp som beskrivs av en funktion, t ex konstruera en rektangel eller triangel med största möjliga area, eller maximera en vinst; denna typ av problem kallas för optimeringsproblem.
I detta kapitel kommer vi att ”sy ihop” våra kunskaper om funktioner och derivatan för dessa. Det kommer också att bli en del tillämpningar som går ut på att ”skapa” funktioner utifrån givna villkor, varpå dessa funktioner ska deriveras för att få fram ett maximalt eller minimalt funktionsvärde.
Vi kommer att arbeta mycket med lokala och globala maximum och minimun. Vad innebär detta? Jag ger ett exempel i nedanstående figur.
Ovanstående figur illustrerar en funktion. Vi ser att där funktionen ”vänder” är derivatan noll; det syns genom de inritade tangenterna (streckade linjerna) som har lutningen noll. Dessa vändpunkter kallas lokalt maximum (den vänstra) respektive lokalt minimum (den högra). Sedan har vi funktionens ändpunkter som är visade med de fyllda cirklarna. Det är i dessa som funktionens minsta värde respektive största värde finns (minns att när vi talar om funktionsvärde avses y-värden). Dessa värden kallas för globala minimum respektive maximum. För att en funktion ska kunna ha ett globalt maximum eller minimum gäller att den måste ha en s.k sluten definitionsmängd. Det innebär att det skall finnas ett största och / eller minsta x-värde. Det kan t ex skrivas som
Detta till skillnad från en s.k öppen definitionsmängd, som t ex kan skrivas
Då ändpunkterna inte är definierade saknas alltså globala maximum eller minimum. Detta illustreras i nedanstående figur.
Hur kommer det sig att ovanstående funktion inte har något globalt minimum eller maximum?
En funktions vändpunkter föregås av derivatans teckenväxling. T ex gäller för lokala maximum att derivatan är positiv till vänster, avtar och antar värdet noll, för att sedan bli negativ. I läroboken Origo C illustreras redovisningen av detta på sidan 168.
Huvudtemat för avsnittet kommer att vara att bestämma funktioners lokala max- och min-punkter. Ett ”recept” för detta är följande:
- Tag fram funktionen i fråga (om den inte är given)
- Derivera funktionen
- Sätt derivatan till 0 (ger vid vilket eller vilka x-värden derivatan är noll, dvs vid vilka x-värden som funktionen vänder, lokal extrempunkt)
- Lös ekvationen från punkt 3 (blir ofta en andragradsekvation)
- Sätt in det framräknade x-värdet i punkt 4 i funktionen i punkt 1. Då har du ett x- och ett y-värde som utgör en lokal extrempunkt.
- Gör ett teckenstudium enligt sid. 173 i Origo C. Ur detta teckenstudium framgår det om punkten i fråga är ett lokalt maximum eller minimum
- OM funktionens globala maximum eller minimum efterfrågas gäller det att även sätta in ytterligheterna i definitionsmängden i funktionen i punkten 1. Dessa ska sedan jämföras med de lokala extremvärdena (det kan vara så att t ex ett lokalt maximum även är ett globalt maximum)
Sedan finns det något som kallas terasspunkter. En sådan illustreras i nedanstående figur.
På en terasspunkt är derivatan också noll, men vi ser att den inte växlar tecken kring terasspunkten. I ovanstående exempel gäller att derivatan är positiv såväl till vänster som till höger om terasspunkten. Denna utgör då inte någon lokal extrempunkt. Det är alltså viktigt att utföra ett teckenstudium enligt konstens alla regler (sid. 173) för att förvissa sig om att det är en lokal extrempunkt vi fått fram. Ett exempel på funktion som har en terasspunkt är 
Detta är i princip den teori som kapitlet behandlar! Egentligen är det inte så mycket matematiska nyheter, men jag har stor respekt för att en del kommer att tycka att den långa hanteringen av uppgifterna är svår.
Frågor, som gärna får kommenteras på bloggen:
- Vilka lokala extrempunkter kommer en exponentialfunktion att ha?
- Finns det avtagande exponentialfunktioner?
- Vilka är de största respektive minsta värden på derivatan en exponentialfunktion kan anta?
Slutligen vill jag ta en rolig historia som har med optimering att göra:
One day a farmer called up an engineer, a physicist, and a mathematician and asked them to fence of the largest possible area with the least amount of fence.
The engineer made the fence in a circle and proclaimed that he had the most efficient design.
The physicist made a long, straight line and proclaimed ”We can assume the length is infinite…” and pointed out that fencing off half of the Earth was certainly a more efficient way to do it.
The Mathematician just laughed at them. He built a tiny fence around himself and said ”I declare myself to be on the outside.”