Vecka 35: Om tal

Matematik A - NV09FMTSäkert känner  du till att man delar upp tal i t ex positiva tal, negativa tal, heltal och bråktal. I gymnasiematten ska vi dock formalisera indelningen en aning.

De naturliga talen är nog de tal människan använde sig utav från början. Det är positiva heltal tillsammans med talet 0. Man talar om mängden naturliga tal: man kan tänka sig mängden som en låda som innehåller alla naturliga tal (som ju faktiskt är oändligt många!).

Nästa steg blir att inkludera de negativa heltalen. De naturliga talen tillsammans med mängden av de negativa talen kallas för heltal (som också är oändligt många, men här kan man fråga sig varför de inte är dubbelt så många som de naturliga talen!).

Bland heltalen har vi också primtalen. För att ta ska klassas som primtal måste det vara ett heltal som är större än 1 och som inte går att dividera med några andra tal än 1 och sig självt. De första primtalen är

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23

Varje heltal går sedan att skriva som produkten av två eller flera primtal. T ex gäller att

72=9\cdot 8=3\cdot 3\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Detta kallas för primtalsfaktorisering. Varje heltal har en unik primtalsfaktorisering, det innebär att den bara går att skriva på ett sätt (ordningen mellan primtalen kan variera, men inte själva primtalen). Detta kallas för Aritmetikens fundamentalsats.

Av heltalen kan vi skapa de rationella talen. Det är detsamma som tal i bråkform. Ett rationellt tal skrivs på formen \frac{a}{b}, där a och b är heltal. Varje heltal är faktiskt också ett rationellt tal, t ex 3=\frac {3}{1}. Det är mycket viktigt att veta hur man räknar de fyra räknesätten med tal i bråkform. En sammanfattning på det finns på sidorna 18 och 19 i läroboken Origo A.

Slutligen finns det märkliga tal som kallas irrationella tal, vilket är tal som inte kan skrivas i bråkform. Exempel på sådana tal är \pi och \sqrt{2}. De irrationella talen jobbar vi inte så mycket med i A-kursen (vi använder dem naturligtvis, men vi gör ingen närmare analys av dess egenskaper), utan här utvecklar vi räkneregler för heltalen och de rationella talen.

En grundkunskap är att kunna avgöra om ett tal är större, mindre eller lika med ett annat tal. Det kan tyckas vara enkelt, men nog krävs lite tankemöda (eller miniräknare!) för att avgöra om \frac {2}{15} är större eller mindre än \frac {1}{10}. Eller, ett ännu mer grundläggande fall: Ordna talen

0; 1,2; -3,5; -1; -3,54; 1,12

i storleksordning.

Att subtraktion faktiskt är en addition med negativa tal kanske du har tänkt på. T ex gäller att

3-5=3+(-5)

Och att division faktiskt är en multiplikation med tal i bråkform exemplifieras med detta exempel:

\frac{8}{4}=8\cdot \frac {1}{4}=2

Upprepad addition skriver vi som multiplikation, t ex är 3+3+3+3=3\cdot 4. Så nu har vi plötsligt rationaliserat bort alla räknesätt utom addition (beträffande heltalen), som är det mest grundläggande. Man kan dock fundera över innebörden av multiplikationen \sqrt{2}\cdot \pi.

Upprepad multiplikation skriver som potenser. T ex 3\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3=3^5. Men vad innebär tal som skrivs med negativ exponent, t ex 2^{-3}? Och hur kommer det sig att x^0=1 om x är vilket reellt tal som helst? Svaret på det finns på sidan 24 i läroboken.

Slutligen måste du också kunna hantera uttryck som omfattar flera räknesätt. Dock går det inte att beräkna i vilken ordning som helst. Här måste man använda sig utav prioriteringsreglerna för att det ska bli rätt. Detta illustreras med följande exempel:

Pia köper en råglimpa som kostar 25 kr och 3 liter mjölk à 7,90 kr. Hur mycket får hon betala?

Vi tecknar  ett uttryck: 25+3\cdot 7.90=48.70 kronor (avrundas till 48 kronor och 50 öre, än så länge!).

Här beräknade vi 3\cdot 7.90 separat som adderades till 25. Skulle vi inte kunnat beräkna 25+3 först och sedan multiplicerat summan med 3? Nej, det faller just på att multiplikation är en form av addition. Det är 7.90 som multipliceras med 3, inte något annat. Se vidare sidan 26 i läroboken för att se hur parenteser och potenser hanteras!. Observera: Kolla upp hur din miniräknare hanterar prioriteringar!

Det var nästan allt från denna blogg  denna vecka – bara de rekommenderade uppgifterna kvar:

Onsdag: 1102, 1105, 1106, 1107, 1109, 1111, 1115,1117, 1118, 1124, 1125, 1130, 1132
Torsdag: T1137, 1139, 1140, 1141, 1142, 1145, 1146, 1147, 1148, 1149, 1151,1152, 1153, 1154, 1155, 1157, 1159, 1160, 1163, 1165, 1167, 1169
Fredag: 1201, 1202, 1204, 1206, 1207, 1208, 1209, 1211, 1213 ,1215, 1217,1219, 1220, 1222, 1223, 1225, 1227, 1228, 1229, 1231, 1234
Vecka 35: Om tal

Kommentera