Heisenbergs osäkerhetsrelation

Fysik B - NV08FMTFör några veckor sedan gick vi igenom Heisenbergs osäkerhetsrelation. Det är en olikhet som processer i naturen lyder under i samband med att de blir iakttagna. Iakttagandet, oavsett hur det sker, innebär nämligen att minst en foton har studsat och överfört del av sin energi till det som iakttas. Det får konsekvenser för säkerheten i det vi mäter, det kommer inte att finnas något exakt värde på lägen och energier!

Introduktion med motiveringar och tolkningar till Heisenbersg osäkerhetsrelation

Vi tänker oss att vi betraktar en elektron i rörelse. För att vi ska kunna avgöra var elektronen är vid en given tidpunkt måste en foton. Fotonen har en rörelsemängd, p, som är kopplad till dess våglängd, λ och Plancks konstant h, enligt sambandet

Samband mellan fotonens våglängd och rörelsemängd
Samband mellan fotonens våglängd och rörelsemängd

Det innebär att elektronen, i samband med iakttagandet, har mottagit en rörelsemängd av okänd storlek. Osäkerheten blir som minst en fotons rörelsemängd. Detta uttrycks som

Osäkerhet i elektronens rörelsemängd efter fotonkollision
Osäkerhet i elektronens rörelsemängd efter fotonkollision

När fotonen träffar elektronen, så sker träffen på en våglängd när. Med detta menar jag att det exakta läget för träff inte kan avgöras, enbart att den skett på en plats inom fotonens ”våglängdsområde”. Vi kallar detta våglängdsområde för Δx. Då gäller följande osäkerhet i partikelns läge:

Osäkerhet i elektronens läge
Osäkerhet i elektronens läge

Sätt nu in Ekvation (2) i (1) ovan:

Osäkerhetsrelationen - ett första grepp
Osäkerhetsrelationen - ett första grepp

I litteraturen står Heisenbergs osäkerhetsrelation ofta uttryckt som antingen

Heisenbergs osäkerhetsrelation - rörelsemängd och läge
Heisenbergs osäkerhetsrelation - rörelsemängd och läge

eller

Heisenbergs osäkerhetsrelation - energi och tid
Heisenbergs osäkerhetsrelation - energi och tid

Uttrycket med produkten av energi och tid återkommer jag till strax. Vill bara notera att orsaken till att man dividerar med 4π (jämför Ekvation (3), där vi inte gör det) baseras på statistiska orsaker som har med standardavvikelse att gör. Skall man utföra beräkningar med Heisenbergs osäkerhetsrelation baserat på tappningen rörelsemängd och läge (kommer exempel nedan), skall man använda sig av formen enligt Ekvation (4).

Vad innebär då relationen enligt (4)? Tja, att man aldrig kan känna till en partikels läge och rörelsemängd / hastighet samtidigt. Ju bättre bestämt läget på partikeln är (man kan åstadkomma god lägesbestämning genom att iaktta en partikel med korta våglängder), desto större osäkerhet i dess rörelsemängd (fotoner med kort våglängd har högre energi än de med lång våglängd, vilket påverkar det betraktade mer). Själva iakttagandet av partikeln får alltså dess tillstånd att förändras!

Hur kan man då närma sig uttrycket för Heisenbergs osäkerhetsrelation enligt (5) ovan? Jo, med hjälp av Plancks antagande att relationen hf (läs om den i ett tidigare inlägg på denna blogg). I nedanstående motivering till Ekvation (5) används även att 1/f = t.

Osäkerhetsrelationen energi tid - ett första grepp
Osäkerhetsrelationen energi tid - ett första grepp

Men, som redan nämnt, den korrekta versionen av denna tappning lyder:

Heisenbergs osäkerhetsrelation - energi och tid
Heisenbergs osäkerhetsrelation - energi och tid

Orsaken till att vi dividerar med 4π är även här statistisk.

Exempel  – Var befinner sig elektronen?

En elektrons hastighet mäts till 5.00·10³ m/s med en noggrannhet på
3.00·10-3 %. Bestäm den minsta osäkerheten i elektronens läge!

Exempel - Osäkerhet i en elektrons läge
Exempel - Osäkerhet i en elektrons läge

Vi ser att läget för elektronen under dessa förhållanden befinner sig är, i förhållande till elektronens storlek, vida utsträckt. Detta gäller även om vi tar hela atomer som måttstock!

Exempel  – Snabbare än ljuset?

Bohrradien är 0.529·10-10 m (väteatom). Utgå från en elektron på Bohrradiens avstånd från kärnan och undersök konsekvenserna på elektronens hastighet!

Exempel - Osäkerhet i en elektrons hastighet
Exempel - Osäkerhet i en elektrons hastighet

Den lägsta hastigheten för elektronen är drygt fem gånger ljusets hastighet. Detta är inte möjligt; det ger att Bohrmodellens elektron i en planetliknande bana inte är en korrekt beskrivning av väteatomen.

Några övriga konsekvenser av osäkerhetsrelationen

Vi har ju gått igenom att atomer kan vara exciterade under en kort period. En orsak till detta kan vara att elektroner går upp i en energinivå som är högre än dess grundnivå. Vi har också läst om att en typisk storleksordning på den tid en atom är exciterad är 10-7 sekunder. Dessa värden kan sättas in direkt i osäkerhetsrelationen (5) för att få energiosäkerheten i det exciterade tillståndet (blir endast 3 neV (nanoelektronvolt!)).

Exemplen ovan är ganska typiska fall för användandet av osäkerhetsrelationen. Heureka! B gör ett makroskopiskt exempel med en tennisboll i en låda, och kommer fram till att dess lägsta hastighet (dvs osäkerheten i hastighet) motsvarar sträckan en atomdiameter på tiden universums nuvarande ålder… Icke desto mindre är osäkerhetsprincipen en parameter även i makroskopiska system, men kanske mer på en filosofisk nivå än en praktisk. Denna läsning om den s.k Fjärilseffekten kanske inte är helt jämförbar med osäkerhetsprincipen, men den visar ändå att små, slumpvisa, förändringar kan få stora konsekvenser!

Heisenbergs osäkerhetsrelation

Kommentera