Rotationsvolymer erhållna med skiv- och skalmetoden

När man bestämmer en rotationsvolym runt en koordinataxel kan det göras med ”skivmetoden”, som går ut på att man travar ”skivor” med en infinitesimal höjd över ett område. Summeras dessas volymer över axeln erhålls den totala volymen. Ett exempelresultat, baserat på rotation kring y-axeln, ses nedan.

Illustration över integration med skivor
Exempel på rotationsvolym som erhålls genom integration med skivor. (Klicka på bilden för att komma till dess beskrivning med ursprungs- och licensinformation)

En annan metod är ”skalmetoden”. Här bygger istället skal upp en volym. Då skivorna travades vinkelrätt över rotationsaxeln, byggs skalen ut från densamma. Ett exempelresultat, baserat på samma funktion som ovan och rotation kring y-axeln, ses nedan.

Illustration över integration med cylindriska skal
Exempel på rotationsvolym som erhålls genom integration med cylindriska skal. (Klicka på bilden för att komma till dess beskrivning med ursprungs- och licensinformation)

Uppenbarligen ger de olika metoderna olika volymer, vilket kanske inte är helt självklart. Min rekommendation är att skissa upp situationen, och från skissen avgöra vilken volym som beräknas.

Hur matematiken hanteras i respektive fall hänvisas till aktuell lärobok!

Rotationsvolymer erhållna med skiv- och skalmetoden

Kommentera