Vecka 45 och start v. 46: Funktioner uttryckt som matematiska samband

Efter träning på hur funktioner tolkas grafiskt, ska vi nu koppla ihop det tidigare genomgångna avsnittet om samband (formler) för att uttrycka funktioner med hjälp av dessa. Det du som elev förväntas kunna efter detta avsnitt är följande:

• Begreppet proportionalitet
• Begreppet linjär funktion
• Kunna uttrycka den funktion som en rät linje i ett koordinatsystem representerar
• Kunna grafiskt representera (”rita funktionen”) till en linjär funktion
• Kunna upprätta en värdetabell utifrån en uttryckt / grafiskt representerad funktion
• Förstå innebörden av funktionsvärden och beteckningen

Tisdag:	Värdetabeller och linjära funktioner: 4201, 4203, 4205, 4206,4208, 4209, 4210, 4211, 4212, 4213, 4214, 4215, 4216, 4219, 4221, 4222, 4223, 4224, 4225, 4226, 4227, 4228
Onsdag:	Beteckningen : 4127, 4128, 4130, 4131, 4132
Torsdag:	Aktivitet: Funktionskort
Fredag:	Funktionsgrafer mm på miniräknaren (Casio 9850 och 9750)
Tisdag (10/11):	Innebörd av ekvationer (uppgifter på sid. 121) samt repetition.

Värdetabeller

Begreppet värdetabell är du förhoppningsvis bekant med sedan grundskolan. På sid. 117 i Origo AB finns exempel på värdetabeller: bl  a en som beskriver telefonkostnaden beroende på samtalstid för ett telefonabonnemang (kostnad som funktion av samtalstid) och en som beskriver temperaturen beroende på tidpunkt (temperatur som funktion av tiden). I vissa situationer är det ett förutsägbart samband som kan tecknas matematiskt (se strax exempel på det nedan), i andra fall, som t ex i temperaturtabellen på sid 117, är sambandet inte så förutsägbart att det går att uttrycka med matematisk exakthet.

Vi börjar med ett känt samband mellan sträcka, hastighet och tid: . Vi kan, med en funktion, uttrycka den sträcka som ett föremål färdats givet en konstant hastighet. Vi gör en värdetabell som visar den färdade sträckan med hastigheten 4 m/s (löptempo):

I en värdetabell står i allmänhet den oberoende variabeln i kolumnen till vänster. Den beroende variabeln beräknas med hjälp av olika värden på den oberoende variabeln. För att beräkna sträckan använder vi sambandet , vilket i vårt sammanhang (med hastigheten 4 m/s) blir .

Värdetabeller för att upprätta grafer

Vi kan rita den funktionsgraf som hör till ovanstående funktion genom att markera punkterna i ett koordinatsystem, och förbinda dessa på ett lämpligt sätt:

I de flesta fall ritar man inte ut de punkter som förbinds, utan endast linjen.

Proportionaliteter och linjära funktioner

Funktionen ovan är exempel på en proportionalitet. För att en funktion skall vara en proportionalitet krävs att grafen är en rät linje som går genom origo. Det innebär, i det här fallet, att om tiden dubblas så ökar också sträckan med det dubbla. Eller i allmänhet: om x dubblas, dubblas även y.

Kanske tycks det, vid första tanken, att det mesta här i livet följer en proportionalitet. T ex får vi betala dubbelt så mycket för 2 kg apelsiner än 1 kg apelsiner (om vi bortser från eventuella mängdrabatter). Men om man tar en sådan sak som ett telefonabonnemang, som ofta har en fast månadskostnad utöver samtalstaxan, blir det inte så. Säg t ex att abonnemangskostnaden är 100 kr/mån och att samtalskostnaden är 50 öre per minut, så erhålls följande funktion: , där är kostnaden en månad (i kronor) och är samtalstiden (i minuter). Ringer man 100 minuter blir räkningen 150 kr; ringer man 200 minuter blir räkningen 200 kr (alltså inte dubbelt så mycket).

Grafiskt kan kostnaden för detta abonnemang beskrivas enligt nedan:

Vi ser att grafen utgörs av en rät linje (några punkter är inte markerade som i den förra grafen), men i det här fallet går den inte genom origo. Det kallas då för en linjär funktion. Alla proportionalitet är linjära funktioner, men alla linjära funktioner är inte proportionaliteter.

Att uttrycka en linjär funktion som ett samband

Alla linjära funktioner kan beskrivas med sambandet , där är ett mått på lutningen på grafen och är skärningspunkten med axeln. är den beroende variabeln och är den oberoende variabeln. Några exempel nedan.

Här vill jag även introducera ytterligare ett ord, nämligen funktionsvärdet. Vi vet ju att kallas den beroende variabeln, och beroende på så får den olika värden. Dessa värden kallas för funktionsvärden.

Att fundera på 1: Vilket värde har en proportionalitet?

För att funktionen skall kunna ”stå” för något måste man känna till vad och symboliserar. I exemplet med telefonabonnemanget ovan var vårt samtalstiden och kostnaden. I exemplet med sträckan och tiden  var tiden vårt -värde och sträckan vårt -värde. Med hjälp av funktioner kan vi alltså matematiskt beskriva relationen mellan två olika storheter. Genom våra matematik- och fysikstudier i gymnasiet kommer vi att träffa på många olika storheter som beskrivs med olika typer av funktioner.

Att fundera på 2: Kan du komma på någon situation som kan beskrivas som en linjär funktion med  negativt värde?

Att fundera på 3: Vilket respektive -värde har funktionen ?

Det vi normalt menar med en proportionalitet är s.k direkta proportionaliteter. Det finns även andra typer av propotionaliteter. T ex kan vara proportionellt mot kvadraten av (skrivs , eller är omvänt proportionellt mot (skrivs . Dessa typer av proportionaliteter är inget huvudnummer i Matematik A, men t ex uppgift 4228, som behandlar Keplers tredje lag, visar på ett användningsområde även för dessa proportionaliteter.

Ett beteckningssätt för funktionsvärden

Ett sätt att beteckna funktionsvärden är med . Det betyder att är funktion av (den får ett värde som bestäms av ).

Säg t ex att vi har funktionen . Vi gör en värdetabell för denna med några olika -värden.

Beteckningssättet som används fungerar så att man säger

1. (Istället för )
2. T ex och (Vi ersätter med 2 respektive 0 i tur och ordning och beräknar värdet)
3. (Vi ersätter med )
4. (Vi ersätter med , observera parentesen)

Det är helt enkelt ett kortare skrivsätt för funktionsvärdet för ett givet värde på . Som vi ser i det sista exemplet ovan (4), så kan även funktionsvärdet skrivas som ett uttryck.