Lektioner vecka 42: Primitiva funktioner och repetition

Matematik D - NV07MTDet sista avsnittet innan provet handlar om primitiva funktioner.

Tidsplan för detta avsnitt (del av 3.3, sidorna 153 – 157 i Matematik 4000)

Måndagen den 12/10 och onsdagen den 14/10.

Rekommenderade uppgifter

Alla uppgifter på sidorna 155 och 157 utom Uppgift 3343.

Primitiva funktioner

Ordet primitiv funktion skall utläsas i betydelsen ”ursprunglig” funktion. Om vi har en funktion F(x)=x^3 så gäller att F'(x)=3x^2. I dessa sammanhang är det vanligt att ”döpa” F'(x) till f(x). Omvänt gäller då:

Om f(x)=3x^2 \Rightarrow F(x)=x^3+C

där C är en konstant. Vi säger att F(x) är en primitiv funktion till f(x).

När F(x) deriveras så erhålls alltså funktionen i fråga. Därför måste vi lägga till en konstant (C); den påverkar ju inte derivatan.

För att bestämma konstanten C måste man känna till ett begynnelsevillkor, som kan uttryckas t ex F(5)=0. Se vidare exemplen på sid. 156 i Matematik 4000. Villkorets betydelse illustreras med följande exempel:

Exempel: Bestäm den primitiva funktion F(x) då f(x)=x och F(0)=\frac{1}{2}.

Lösning:Några primitiva funktionerna till f(x) är ritade i nedanstående graf.

Funktionsskara
Funktionsskara - Visar hur derivatan är konstant oavsett "läge" på funktionen

Den funktion som uppfyller villkoret f(0)=\frac{1}{2} är den som representeras av den heldragna, svarta, linjen ty den går igenom punkten (0,\frac{1}{2}), vilket är en alternativ formulering till villkoret i exemplet.

Vad representerar en primitiv funktion?

Orientering: I fysiken finns det ett stort antal samband mellan två storheter, där de primitiva funktionerna låter oss beräkna någon annan storhet ur ett känt samband. T ex finns i boken på sid. 156 ett löst exempel som behandlar sambandet mellan tillryggalagd sträcka och hastighet s0m varierar med tiden. Vidare känner vi till sambandet mellan arbete, kraft och sträcka enligt W=F\cdot s, fär F är konstant. Om F varierar över tiden tas den primitiva funktionen för denna variation, varpå ett uttryck för arbetet erhålls. Vidare kan medelvärden beräknas då en storhet (t ex temperatur) varierar med en känd funktion (ett mer häftigt exempel på medelvärde är att beräkna ett inhomogent föremåls tyngdpunkt). Eller den spänning som alstras då en elektrisk ledare rör sig i ett magnetfält (generator!). Slutligen, och det kommer vi till i nästa avsnitt, kan areor beräknas under en kurva som är definierad som en funktion. Du som kommer att läsa Matematik E kommer även att beräkna volymer som skapas då en funktionsgraf roteras kring en koordinataxel. Så primitiva funktioner är användbara i naturvetenskapen!

Hur tas en primitiv funktion fram?

Känner man till en funktion f och dess derivata f’, så känner man ju till den primitiva funktionen till f’ (den är ju f). De ”vanliga” (jag menar här potensfunktioner, exponentialfunktioner och trigonometriska funktioner, som det mesta kretsat kring i Matematik C och D) funktionernas derivator känner vi till. Däremot får man ta till speciella knep för att ta fram den primitiva funktionen av en sammansatt funktion om man inte kan ”klura ut” den. Nedanstående tabell är ett utdrag från formelsamlingen (för nationella prov) i Matematik D:

Primitiva funktioner

Kommentera gärna, markdown-formatering OK.