Lektioner vecka 40 och 41: Differentialekvationer

Tidsplan för detta avsnitt (del av 3.3, sidorna 149 – 151, i Matematik 4000)
Torsdagen den 1/10 och måndagen den 5/10

Rekommenderade uppgifter
Alla på sid. 149 – 151.

Differentialekvationer

I en ”vanlig” ekvation är det ett tal som söks. Vi har en uppsätting regler för hur vi kan lösa ekvationer, och vi kan pröva, genom att sätta in lösningen i ursprungsekvationen, om den är giltig. I en differentialekvation är det inte ett tal som är det obekanta; det är en funktion.

I differentialekvationer får vi reda på något om derivatan till den sökta funktionen. Den (kanske) allra enklaste typen av differentialekvation är , värdet 5 i ekvationen kan ersättas med vilket annat värde som helst). Vi ska lösa ekvationen så att funktionen erhålls. Vilken funktion ger en konstant derivata (dvs har en konstant förändring i y-led när vi ändrar på x med ett givet antal enheter (5 i vårt fall), oavsett vilka värden på x som används? Jo, den linjära funktionen. Den linjära funktionen skrivs , vilket också är lösningen till  exempeldifferentialekvationen ovan (puh, långt ord!). Vi kan testa genom att derivera y med avseende på x: . Vi kommer tillbaka till ursprungsekvationen.

Vi ser att lösningen är en linjär funktion; men inte vilken. Det beror på att derivatan av en konstant, oavsett vilken konstant, är noll. Grafiskt kan detta illustreras som en ”skara” med räta linjer med samma lutning men olika ”m-värden”. För att få en specifik funktion krävs ett villkor (som kallas randvillkor). Detta formuleras genom att man vet (eller får veta) att funktionen har ett visst y-värde för ett givet x-värde. T ex ger (för ovanstående exempeldifferentialekvation) att . Nu är denna differentialekvation löst!

En differentialekvation är oftast svårare än så att lösa, men metoden är alltid att hitta en funktion som svarar mot en känd derivata eller andraderivata. Innan man blir van att hantera dessa ekvationer, kanske det känns egendomligt med ekvationer som . Det gäller bara att komma ihåg att y är en funktion av x (det framgår ur uppgiften av vilken variabel funktionen är funktion av, i många fall är också y en funktion av t, tiden).

Jag ger en sista differentialekvation med fysikalisk anknytning innan jag avslutar detta blogginlägg. Det gäller fritt fall. Vi vet att hastigheten ökar med 9,82 m/s varje sekund då ett föremål faller utan luftmotstånd. Detta kan skrivas som . Den löser vi som att , där är en begynnelsehastighet. Kanske någon känner igen detta från fysiken? I väldigt många fall är det fysikaliska samband som kan skrivas som differentialekvationer.