Effektivvärde för växelström och -spänning

Redan i Fysik A har vi studerat likström och likspänning. Det trevliga med dessa är att de är konstanta, och att de inte varierar som funktion av tiden. Det gör att vi enkelt kan beräkna en krets utvecklade effekt (minns $P=U\cdot I$ ), då ström och spänning ju är konstanta.

En växelspänning varierar spänningen periodiskt (titta på denna Wolfram-demonstration som visar hur en växelspänning skapas, kräver Wolfram CDF-Player), för en sinusformad spänning gäller att $u(t)=\hat{u}\sin{\omega t}$ , vilket innebär att spänningen varierar såväl till storlek och riktning (innebörden av $\hat{u}$ är spänningens toppvärde, och $\omega$ är dess vinkelhastighet, för vilken sambandet $\omega=2\pi f$ gäller mellan vinkelhastighet och frekvens $f$ ). Då spänning (och därmed ström) kommer att variera kommer också effekten hos den anslutna apparaten att variera med tiden. Den korta historien är att den ström och spänning som används vid beräkningarna är

$U=\frac{\hat{u}}{\sqrt2}$ och $I=\frac{\hat{i}}{\sqrt2}$

Dessa värden på $U$ och $I$ kallas effektivvärdet av spänningen respektive strömmen, och motsvarar den effekt $P$ en apparat kommer att utveckla som om den drevs med likspänningen $U$ och likströmmen $I$ .

Variation av spänning med markerat topp- och effektivvärde

Orsaken till att toppvärdet divideras med $\sqrt{2}$ utreds nedan i detta inlägg.

Nedanstående kan läsas i mån av intresse, det motiverar varför sambandet mellan topp- och effektivvärde ser ut som det gör. Jag kommer inte att avkräva någon sådan redovisning i Fysik B, kanske någon har nytta utav det senare.

Om vi tittar på växelströmmen $i$ så gäller att effekten som utvecklas i en apparat med resistansen $R$ är $p(t)=R\cdot {(i(t))}^2$ . Varierar nu strömmen enligt funktionen $i(t)=\hat{i}\sin{\omega t}$ , så gäller för effekten att

$p(t)=R{(\hat{i}\sin{\omega t})}^2=R\hat{i}^2\sin^2{\omega t}$

Medeleffekten $\bar{p}$ får vi genom att summera antalet effektbidrag och dividera med det tidsintevall summeringen sker över. Eftersom effekten förändras kontinuerligt enligt ovanstående funktion så gäller att vi måste summera kontinuerligt, alltså integrera, över en period $T$ :

$\bar{p}=\frac{\int_0^T \! p(t) \, \mathrm{d} t}{T}=\frac{R\hat{i}^2\int_0^T \! \sin^2{\omega t} \, \mathrm{d} t}{T}=\frac{R\hat{i}^2\int_0^T \! \frac{1-\cos{2\omega t}}{2} \, \mathrm{d} t}{T}=\frac{R{\hat{i}}^2}{2}$

(När ovanstående integral evalueras utnyttjas att $\sin{2\omega T}=0$ , hur kommer det sig?).

Eftersom $P=RI^2_{\mathrm{effektiv}}=\bar{p}$ (det är så effektivvärdet av strömmen definieras!) så erhålls

$RI^2_{\mathrm{effektiv}}=\frac{R{\hat{i}}^2}{2}\Rightarrow I_{\mathrm{effektiv}}=\frac{\hat{i}}{\sqrt{2}}$

Motsvarande samband kan visas gälla för spänningens topp- och effektivvärde.

Dela detta:

Kommentera gärna, markdown-formatering OK.Avbryt svar