Einsteins speciella relativitetsteori


albert-einstein-1100450_1280Ett grundantagande i den speciella relativitetsteorin är att ljusets fart är konstant (ljusfarten). Det kommer att få konsekvenser för tid, rum och föremåls energi. I detta inlägg kommer jag att beskriva innebörden av en konstant ljusfart och troliggöra varför den ger konsekvenser som

  • Tidsdilatation (tiden kommer att gå olika fort i system med olika fart)
  • Längdkontraktion (föremåls längder och sträckor förändras med deras fart)
  • Relativistisk rörelsemängd
  • Ekvivalensen mellan energi och massa (E=mc^2)

Som fysiklärare är det inte helt ovanligt att jag får frågan hur ovanstående fenomen  kan komma sig, och inte minst varför E=mc^2. Även om ett resultat kan uttryckas väldigt kortfattat, är det väldigt sällan som den bakomliggande förklaringen kan uttryckas lika kortfattat. Därav detta inlägg.

Så ställ klockan och ta fram måttbandet, nu kör vi!

Tidsdilatation

År 1887 utförde fysikerna Abraham Michelson och Edward Williams Morley ett viktigt experiment. De visade att ljusfarten inte förändrades med någon rörelse, dvs den är konstant oavsett i vilket läge den mäts. (För ljusfarten i vakuum kan man ofta med tillräckligt stor noggrannhet använda c=2,998\cdot 10^8 m/s).

Om vi för ett ögonblick växlar ned, och tänker oss att vi färdas framåt med t ex 10 m/s i en öppen vagn och kastar fram en boll i färdriktningen med 5 m/s, skulle en stillastående observatör utanför vagnen mäta bollens fart till 15 m/s ögonblicket efter det att den kastats. Ombord på vår rörliga vagn skulle vi dock se bollen färdas framåt med farten 5 m/s. De olika observatörerna får alltså olika resultat på bollens fart.

Om vi däremot, i vårt rörliga tillstånd, skulle skicka ut en ljusstråle i färdriktningen, skulle såväl observatören utanför vagnen och vi ombord på vagnen mäta att den färdas med exakt ljusfarten. Det spelar ingen roll hur snabbt vagnen färdas, eller i vilken riktning som ljuset sänds ut: alla observatörer oavsett hastighet kommer att uppmäta samma fart på ljuset!

År 1905 drog Albert Einstein konsekvenserna av en konstant ljusfart. Det skulle visa sig denna konstanta fart gör att observatörer i system som rör sig olika fort kommer att de mäta olika tidsintervall för händelser i respektive system. Deras klockor skulle gå olika fort och de skulle åldras olika fort – ja, hela tiden skulle gå olika fort i de olika systemen.

Deras klockor skulle gå olika fort och de skulle åldras olika fort – ja, hela tiden skulle gå olika fort i de olika systemen.

Jag ska försöka reda ut begreppen utifrån nedanstående figurer. Här tänker vi oss att vi dels gör mätningar i ett  system som rör sig i konstant hastighet och dels på något i detta system när vi står utanför det.

Ljusklocka.png
Fig 1. Härledning av tidsdilatation.

Vi ser att ljuset går olika långt om vi mäter samma rörelse inne i det rörliga systemet jämfört med utanför i referenssystemet. Men eftersom ljusfarten är konstant, så har det gått olika sträckor med samma fart på samma tid. Nej, det är (som sagt) inte samma tid. Tiden inne i systemet och utanför har gått olika fort. Det var en av Einsteins stora insikter (men det skulle komma mera…).

Om vi multiplicerar varje sida i den rätvinkliga triangeln i Fig. 1c ovan med \frac{2}{c} så får vi med Pythagoras sats:

\Delta t=\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \hfill (1)

där \Delta t är tidsintervallen i referenssystemet och \Delta t_0 är tidsintervallen i det rörliga systemet (tåget i det här fallet). Tidsintervallen är alltså olika långa!  Detta är även experimentellt verifierat. Experiment med atomur ombord på flygplan har visat att tiden på flygplanet har gått något långsammare än tiden på marken.

Exempel: Om tåget rusar fram med farten 0,9c och passagerarna mäter upp tiden 1,0 år, kommer samtidigt de som är kvar på perrongen att mäta tiden 2,3 år enligt (1). Tågpassagerarna har verkligen upplevt 1,0 år, och hunnit med lika mycket som de brukar göra på ett år. Motsvarande gäller tiden för de som stod kvar på perrongen: de har hunnit med lika mycket som de brukar göra på 2,3 år. Ingen har alltså upplevt någon tidsskillnad förrän de träffar varandra igen och utbyter erfarenheter från den tiden de var åtskilda.

Man brukar sätta faktorn \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\gamma (den kallas Lorentzfaktorn), så kan vi enkelt skriva att \Delta t=\gamma \Delta t_0

Detta är även experimentellt verifierat. Experiment med atomur ombord på flygplan har visat att tiden på flygplanet har gått något långsammare än tiden på marken.

I det rörliga systemet kommer alltså tiden att gå långsammare, varje tidsintervall är längre än motsvarande tidsintervall i referenssystemet. Fenomenet kallas tidsdilatation, vilket betyder ”tidsuttöjning”.

Tidsenhet i olika system.png
Fig. 2. Tidsdilatation. Varje tidsintervall i det rörliga systemet kommer att vara längre än motsvarande intervall i referenssystemet. Ju högre fart, desto högre Lorentzfaktor och desto längre blir tidsenheten i det rörliga systemet i förhållande till referenssystemets motsvarighet.

Längdkontraktion

En konsekvens av tidsdilatation är att även sträckor kommer att mätas olika beroende på om man är i ett rörligt system eller i ett referenssystem. Säg t ex att vi ska resa till en avlägsen planet med ett snabbt rymdskepp. Vi har mätt sträckan från Jorden till planeten till 10 ljusår (det tar ljuset 10 år att komma dit). Vi beräknar då restiden till

t=\frac{s_0}{v}=\frac{10}{0,9}=11,1 år.

då vi färdas i farten v. Men; t är ju tiden som vi räknat med i referenssystemet. Hur lång tid tar det enligt rymdskeppets klocka? Om vi t ex, återigen, reser med farten 0,9c så vet vi att när referenssystemet mätt tiden 2,3 år så har klockan i vårt rymdskepp enbart mätt 1,0 år. Det innebär att vi kommer att mäta upp tiden 11,1 / 2,3 = 4,8 år. Denna förändring restid kan man se som att det är sträckan som har förändrats. Den har förändrats enligt

s=\frac{s_0}{\gamma}

där s_0 är den sträcka som mäts upp i referenssystemet. Och faktum är att sträckan som mäts förändras med farten. Ju högre fart, desto kortare sträcka. Föremål i rörelse kommer av en utomstående betraktare också att mätas till kortare längd än i vila, vilket innebär att vi skulle kunna tänka oss att se t ex ett långt tåg i tillräcklig hög fart som ryms i en tändsticksask (detta stämmer dock inte, se t ex paradoxen om ladan och stegen).

Om vi skulle kunna komma upp i 99,9999999999926 % av ljusfarten, så skulle vi kunna åka till Andromedagalaxen (2,6 miljoner ljusår bort) på endast ett år.

Vi skulle alltså, med tillräckligt hög fart, kunna överbrygga vilka avstånd som helst under en (för resenären) överskådlig tid. Om vi skulle kunna komma upp i 99,9999999999926 % av ljusfarten, så skulle vi kunna åka till Andromedagalaxen (2,6 miljoner ljusår bort) på endast ett år. Om vi återvänder direkt, och kommer tillbaka till Jorden efter två år, så kommer vi att komma tillbaka i en tid 5,2 miljoner år senare… Det är bara ett problem, som vi nu ska titta närmare på.

Rörelsemängd

Rörelsemängd definieras klassiskt enligt p=mv. Vad skulle dess relativistiska motsvarighet vara? Eftersom fart är sträcka (\Delta x) delat med tid, och tidsintervallen varierar beroende på iakttagare, så kan vi teckna det enligt:

p=m\frac{\Delta x}{\Delta t_0}=m\gamma\frac{\Delta x}{\Delta t}=\gamma mv

Rörelsemängden ökar alltså med farten, mer än enbart pga farten (även Lorentzfaktorn ökar ju med farten). Och ju närmare ljusfarten vi kommer, desto mer ökar Lorentzfaktorn. Den ökade rörelsemängden kan ses som en ökning av massan hos föremålet som accelererar. Den ökande massan gör att det krävs än mer energi för att fortsätta accelerationen.

Och ju närmare ljusfarten vi kommer, desto mer ökar Lorentzfaktorn.

Mass- energiekvivalensen

De allra flesta naturvetenskapligt intresserade har hört talas om, och kanske använt sig av, Einsteins mest berömda samband som beskriver ekvivalensen mellan energi och massa: E=mc^2. Det innebär att materia och energi är två sidor av samma mynt. En konsekvens blir att massan av en atoms ingående partiklar är högre än massan på atomen pga bindningsenergi mellan partiklarna. Det sambandet ligger bakom energiutvinning genom atomklyvning (kärnkraft). Men, vad har det med den speciella relativitetsteorin (som ju verkade handla om sträcka och tid) att göra?

Ett sätt att närma sig det hela på är att titta på ett studera den kinetiska energin hos föremål. I de flesta fall är beräknas den kinetiska energin med ekvationen K=\frac{1}{2}mv^2. Jag visar i nedanstående figur hur man kommer fram till dess relativistiska motsvarighet, där det också visar sig att den totala energin hos ett föremål är summan av dess kinetiska energi K och det som kallas föremålets viloenergi, mc^2.

Relativistisk energi.png
Fig 3. Härledning av E=mc2

Att visa hur viloenergin utgörs av bindningsenergier och andra potentiella energiformer av olika slag inom och mellan atomer går utanför min målsättning med en någorlunda enkel förklaringsmodell, men för den intresserade så inbjuder detta kanske till en start till studier av  mer avancerad relativitetsteori. Och det känns kanske inte så långsökt att viloenergin måste vara summan av den totala energin minus den kinetiska energin. Och vi har också sett hur den ”magiska” mc^2-termen uppkommer från relativistisk rörelsemängd, som i sin tur har med tidsdilatationen att göra.

Jag avslutar med en graf som visar hur den kinetiska energin på ett föremål beror på dess fart. I farter upp till 10% av ljusfarten, och det är mycket  höga farter i vardagssammanhang!, stämmer den klassiska ekvationen K=\frac{1}{2}mv^2 bra (jag tycker själv att det är häftigt med den goda överensstämmelsen, det är ju helt olika typer av funktioner!). Men ju närmare ljusfarten som föremålet kommer, desto mer avviker den kinetiska energin från det som vi ”normalt” räknar med.

Relativistisk kinetisk energi - Graf.png
Fig 4. Variation av kinetisk energi. Enligt de relativistiska beräkningarna syns att farten aldrig kan komma upp till eller överstiga ljusfarten. De klassiska energiberäkningarna känner inga sådana begränsningar, men överensstämmer inte heller med verkliga förhållanden i närheten av ljusfarten.
Einsteins speciella relativitetsteori

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut / Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut / Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut / Ändra )

Google+ photo

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut / Ändra )

Ansluter till %s