Trigonometri och vektorer


Matematik 1 - NA11FMDenna vecka (v.43)  får vi skörda frukterna av en del av det arbete vi lade ned i fysiken på trigonometri och vektorer; detta ingår nämligen i Matematik 1. En rätvinklig triangel är fullständigt känd om en sida och en vinkel (utöver den räta) är kända. En rätvinklig triangel är också fullständigt känd om två sidor är givna. Att triangeln är känd innebär att resterande sidor och vinklar kan beräknas.

I fysiken landade vi i att enbart beräkna sidor med hjälp av vinklar genom att använda sinus, cosinus eller tangens. Det vi nu kommer att ta upp i matematiken är att även beräkna vinklar med arcsin, arccos och arctan.

I fysiken har vi också använt oss av vektorer; det är någonting som måste anges till både storlek som riktning (t ex krafter och hastigheter) för att vara helt bestämt.

Trigonometri i rätvinkliga trianglar

Med hjälp av en rätvinklig triangel kan man definiera sinus cosinus och tangens enligt följande:

Rätvinklig triangel
Bild 1: Rätvinklig triangel med sidorna a, b, c och vinklarna A, B, C
Sinus Cosinus Tangens
\sin A=\frac{a}{c} \cos A=\frac{b}{c} \tan A=\frac{a}{b}
\sin B=\frac{b}{c} \cos B=\frac{a}{c} \tan B=\frac{b}{a}

Tabell 1: Definition av de trigonometriska funktionerna utifrån en rätvinklig triangel

Sidan a kallas katet (den är närliggande katet till vinkel B och motstående katet till vinkel A), sidan b kallas också katet (den är närliggande katet till vinkel A och motstående katet till vinkel B) medan sidan c kallas hypotenusa (den är motstående till den räta vinkeln i triangeln).
De trigonometriska värdena anger alltså förhållanden mellan olika sidor i triangeln. En viktig relation mellan sinus, cosinus och tangens för en vinkel v, som också erhålls ur Bild 1 ovan (hur?) är

\tan v=\frac{\sin v}{cos v}

Med hjälp av en liksidig triangel med sidan 1, där varje vinkel är 60° (varför är det så?) och en likbent rätvinklig triangel med de lika långa sidorna 1, så kan man ta fram några exakta värden för de trigonometriska funktionerna:

Trianglar för härledning av grundläggande trigonometriska värden
Bild 2: Trianglar för härledning av grundläggande trigonometriska värden
\sin 30^\circ=\frac{1}{2}  \sin 45^\circ=\frac{1}{\sqrt 2}  \sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}
\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}  \sin 45^\circ=\frac{1}{\sqrt 2} \cos 60^\circ=\frac{1}{2}
\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt 3} \tan 45^\circ=1 \tan 60^\circ=\sqrt3

I många fall då man räknar med utgångspunkt från trianglar vill man bestämma en vinkel utifrån ett förhållande mellan två sidor. Då kommer de inversa trigonometriska funktionerna till pass, arcsin, arccos och arctan (för ett givet förhållande mellan aktuella sidor). OBS: på miniräknaren finns beteckningarna sin-1, cos-1 och tan-1. Vid skrift bör dock skrivsättet arc- användas, då det inte innebär någon tvetydighet mellan en negativ exponent och en invers funktion.

Jämför nedanstående tabell med Tabell 2:

\arcsin \frac{1}{2}=30^\circ \arcsin \frac{1}{\sqrt 2}=45^\circ \arcsin \frac{\sqrt 3}{2}=60^\circ
\arccos \frac{\sqrt3}{2}=30^\circ  \arccos \frac{1}{\sqrt 2}=45^\circ \arccos \frac{1}{2}=60^\circ
\arctan \frac{1}{\sqrt3}=30^\circ  \arctan 1=45^\circ \arctan \sqrt 3=60^\circ

Tabell 3: Några vinklar utifrån givna förhållanden mellan två sidor i en rätvinklig triangel

Ovanstående innebär sammantaget att känner man till ett förhållande mellan två sidor i en rätvinklig triangel så känner man också till dess vinklar, och vice versa. Detta gäller för alla rätvinkliga trianglar, inte enbart för dessa med vinklarna 30°, 45° och 60° (som jag tog som exempel efter att ha konstruerat dessa vinklar från en liksidig triangel med sidan 1). Vi kommer så småningom att hitta fler exakta värden för de trigonometriska funktionerna.

Vektorer

Vektorer används, som sagt, för att åskådliggöra och räkna med storheter som måste anges såväl till storlek som riktning. Kanske behovet illustreras bäst av ett motexempel: Den totala massan av 1 kg och 2 kg är 3 kg; det kan inte bli på något annat sätt. Men vad blir den resulterande (”totala”) kraften av 1 N och 2 N? Det beror på hur de är riktade i förhållande till varandra!

Se denna interaktion (som kräver gratisprogrammet Wolfram CDF-Player) och experimentera med olika storlekar och riktningar för de ingående vektorerna för att få en känsla för hur resultanten påverkas.

Övrig teori finns i avsnittet 4.4 i Matematik 5000.

Rekommederade uppgifter

Måndag 24 oktober: 4302, 03, 06, 09, 11, 12, 13, 15, 16, 20, 22, 24, 26, 27, (29)

Tisdag 25 oktober: 4331, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 40, 43, 45, 46, 50, 52, 53, 55, 58, 59, 61

Onsdag 26, torsdag 27 oktober: Uppgifterna på sid. 199 – 207 (Tema Vektorer).

Torsdag 27, fredag 28 oktober: Uppgifter på sid. 209 – 214 (Tema problemlösning).

Trigonometri och vektorer

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut / Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut / Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut / Ändra )

Google+ photo

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut / Ändra )

Ansluter till %s