Trigonometriska ekvationer


Matematik D - NV09FMTVi har ju tidigare utvidgat vinkelbegreppet i trigonometrin från att omfatta enbart trianglar (de första definitionerna vi gjorde) till enhetscirkeln. När vi kom in på enhetscirkeln så märkte vi dels att det gick att definiera de trigonometriska värdena för vinklar som var 90° eller större, men också att man kan tänka sig vinklar som är större än 360°, genom att vi drar ”vinkelvisaren” flera varv.

Vi har ju också tidigare löst grundläggande ekvationer, som t ex

\sin{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}

vilken har en lösning x=60^{\circ}, och en annan lösning x=120^{\circ}. Enhetscirkeln motiverar den andra lösningen ur sin symmetri.

Lösningarna återkommer gång på gång när ”visaren” i enhetscirkeln roteras. Se nedanstående bild på enhetscirkeln: Givet t ex att sinusvärdet för vinkeln v är 0.5 (\sin v = 0.5), så gäller att v=30^{\circ} eller v=150^{\circ}. Dessutom så återkommer värdet när visaren ”vrids” vidare över 360°, närmare bestämt när v=390^{\circ} och v=510^{\circ}. Vi säger att samtliga lösningar till ekvationen \sin v = 0.5 är

  • v=30^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}, n=1, 2, 3...
  • v=150^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}, n=1, 2, 3...

Perioden för sinusfunktionen är 360°, och det är i detta område vi startar med att hitta lösningar.

Vi tar ännu ett exempel, nämligen ekvationen

\sin {3v}=\frac{1}{\sqrt{2}}

Vi söker alltså lösningar v. Innebörden av ekvationen illustreras i figuren nedan:

Ekvationslösning i enhetscirkeln
Ekvationslösning i enhetscirkeln

Vi kan snabbt beräkna att vinklarna 3v=45^{\circ} och 3v=135^{\circ} uppfyller ekvationen. Sedan kan vi dra runt vinkelbenet ett varv. Men då är det inte v som har ökat med 360°, det är 3v. Det innebär att v har ökat med 120°, \frac{1}{3} av 3v. Perioden ”skalas” alltså med en faktor som avgörs av vinkelns ”multipel” i ekvationen. I det här fallet erhålls lösningarna

  • v=\frac{45^{\circ}}{3}+n\cdot \frac{360^{\circ}}{3}=15^{\circ}+n\cdot 120^{\circ}, n=1, 2, 3...
  • v=\frac{135^{\circ}}{3}+n\cdot \frac{360^{\circ}}{3}=45^{\circ}+n\cdot 120^{\circ}, n=1, 2, 3...

På motsvarande sätt blir det om multipeln på vinkeln i ekvationen ligger mellan 0 och 1, då blir perioden större än 360°.

En viktig detalj att komma ihåg när man löser ekvationer som innehåller tangensfunktionen (\tan{v}), är att denna har perioden 180°.

Detta tar vi på måndag, på tisdag och fredag tar vi oss an ett antal viktiga satser om trigonometriska värden av summor och differenser av vinklar. Detta är också det sista nya stoffet i kapitlet, resten är tillämpningar.

Rekommenderade uppgifter på detta avsnitt, som omfattar de grundläggande trigonometriska funktionerna, är de på sidorna 117 och 118 i Origo D.

Trigonometriska ekvationer

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut / Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut / Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut / Ändra )

Google+ photo

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut / Ändra )

Ansluter till %s