Derivatan av ln x

Detta inlägg handlar om hur en funktion som innehåller den naturliga logaritmen deriveras.

För att derivera funktionen y = ln x kan man göra omskrivningen

$x=e^{y(x)} \Rightarrow x-e^{y(x)}=0\hspace{20 mm}(1)$

Detta skrivsätt uttrycker $x$ som funktion av $y$ . Vi skulle enkelt kunna skriva derivatan $\frac{dx}{dy}$ (förutsatt att x är en funktion av y), men det är inte det vi vill (vi vill ju derivera vår ursprungliga funktion, $y(x)=\ln x$ ).

Nu ska vi försöka oss på konststycket att derivera x med avseende på x. Detta går, då y, som ju x beror utav, är just en funktion av x, (detta kallas för implicit derivering, vilket läroboken inte nämner), genom att derivera respektive led i ovanstående omskrivning (1):

$D(x-e^{y(x)})=D(0)\hspace{20 mm}(2)$

Observera här att deriveringen sker med avseende på x, och att därför D(x) = 1 och att $D(e^{y(x)})=e^{y(x)}\cdot y'(x)$ , där $y'(x)$ är den inre derivatan av $e^{y(x)}$ . Vi måste multiplicera med den inre derivatan då exponenten till $e$ är en funktion, inte en konstant. $D(0)=0$ , naturligtvis! Då deriveringen utförs på hela ekvationen (2) så erhålls:

$1-e^y\cdot y'(x)=0\hspace{20 mm}(3)$

varpå

$y'(x)=\frac{1}{e^{y(x)}}=\frac{1}{x}\hspace{20 mm}(4)$

Här har vi alltså vår åtråvärda deriveringsregel för funktionen $y(x)=\ln x$ .

De rekommenderade uppgifterna i Origo D är 1165 – 1173. När detta är klart kan man antingen ge sig på att derivera funktionen $f(x)=x^x$ (japp, här kommer faktiskt derivatan av logaritm-funktionen väl till pass), eller ta sig an tidigare uppgifter som inte hunnits med tidigare. På måndag (den 14 mars) ger vi oss i kast med Newton-Raphsons metod för ekvationslösning.

Dela detta:

Kommentera gärna, markdown-formatering OK.Avbryt svar